Noeuds & tresses : une introduction mathématique

Tille ......Page 5
Copyright ......Page 6
Table des matières ......Page 9
Avant-propos ......Page 11
Introduction : une brève histoire des nœuds ......Page 13
Mode d’emploi ......Page 16
Notations ......Page 18
1.1 Qu’est-ce qu’un nœud ......Page 19
1.2 Isotopie et équivalence des nœuds ......Page 24
1.3 Notion d’invariants ; ordre et genre ......Page 29
1.4 Arithmétique des nœuds ......Page 34
2.1 Le groupe d’un nœud ......Page 39
2.2 Calcul « différentiel libre » et matrice de Fox ......Page 48
2.3 Idéal d’Alexander et polynôme d’Alexander ......Page 53
3.1 Le groupe des tresses ......Page 57
3.2 Présentation du groupe Bn ......Page 61
3.3 Les théorèmes d’Alexander et de Markov ......Page 65
4.1 Traces sur les algèbres de Hecke ......Page 69
4.2 Un invariant pour les entrelacs orientés ......Page 72
4.3 Invariant d’écheveaux ......Page 74
4.4 Le polynôme de Jones (ou polynôme HOMFLY ......Page 77
4.5 Quelques propriétés du polynôme de Jones ......Page 79
4.6 Jones, Conway, Kauffman et les autres ......Page 82
4.7 Une conjecture de Tait ......Page 86
5.1 Nœuds singuliers et invariants de Vassiliev ......Page 91
5.2 Les nœuds et la géométrie de la dimension trois ......Page 96
5.3 Les nœuds de grande dimension ......Page 98
Épilogue ......Page 103
A.l Le Théorème ......Page 105
A. 2 La caractéristique d’Euler-Poincaré ......Page 107
B. l Groupes libres, présentations de groupes ......Page 111
B.2 Produits libres et produits amalgamés de groupes ......Page 113
B. 3 Algèbres, algèbres de groupes ......Page 114
C. l Applications homotopes et type d’homotopie ......Page 117
C.2 Le groupe fondamental ......Page 118
C.3 Calcul du groupe fondamental ......Page 120
Bibliographie ......Page 123
Index ......Page 125