Traité de mathématiques spéciales

Le Traité de mathématiques spéciales de Cagnac, Ramis et Commeau était destiné aux élèves des deux années de classes préparatoires ainsi qu’aux élèves du premier cycle des Facultés. Son contenu est conforme aux programmes du 21 janvier 1963 et du 25 mars 1964 pour les classes préparatoires et du 30 juin 1966 pour le premier cycle des Facultés. Le tome I (Algèbre) comprend essentiellement l’étude des structures algébriques, du corps des rationnels et du corps des complexes, des polynômes, fractions rationnelles et équations algébriques, enfin de l’algèbre linéaire. La fin du cours d’Algèbre (formes quadratiques, hermitiennes,…) a été reportée au début du tome III. Le tome II (Analyse) contient d’une part l’étude des fonctions réelles ou complexes d’une ou de plusieurs variables réelles, d’autre part celle de la partie théorique du programme de calcul différentiel et intégral. Un premier chapitre est consacré à une introduction du corps des réels; un dernier chapitre rassemble ce que les élèves ont à savoir sur les calculs numériques en vue des travaux pratiques. Deux appendices, conformes au programme MP des Facultés, contiennent l’un, des notions de Topologie, l’autre une initiation aux fonctions holomorphes. Le tome III (Géométrie) comprend deux parties. L’une est consacrée à des compléments d’Algèbre qui forment une suite naturelle du tome I, et à une introduction axiomatique de la Géométrie; l’autre, plus pratique, étudie les diverses générations et les représentations analytiques usuelles des courbes et des surfaces élémentaires. Le tome IV (Applications de l’Analyse à la Géométrie) contient la géométrie différentielle, les intégrales multiples, les calculs de longueurs, aires, volumes, etc., l’analyse vectorielle et les applications géométriques des équations différentielles. Le présent tome IV débute par un chapitre qui constitue la suite naturelle du tome II et qui comprend : – des compléments de topologie, en prolongement de l’étude des espaces métriques faite dans l’appendice I du tome II, – une étude des fonctions vectorielles d’une variable réelle. Les chapitres II à XI sont consacrés à l’étude de la géométrie différentielle (courbes et surfaces). Les intégrales multiples, les intégrales curvilignes et les intégrales de surfaces, ainsi que leurs applications à la mécanique (masses, centres d'inertie, moments d’inertie) sont traitées aux chapitres XII à XVI. Enfin l’analyse vectorielle fait l’objet du chapitre XVII. Table des matières du tome IV : Chapitre I. — Compléments d’analyse        I. Compléments de topologie sur les espaces métriques       II. Dérivation et intégration d’une fonction vectorielle d’une variable réelle Chapitre II. — Notion de courbure        I. Notion d’arc géométrique       II. Tangente      III. Étude locale d’une courbe plane par rapport à la tangente en un point       IV. Branches infinies et asymptotes        V. Notions sur les courbes représentées paramétriquement en coordonnées homogènes Chapitre III. — Courbes planes déterminées par une représentation paramétrique        I. Généralités       II. Exemples de constructions de courbes déterminées par une représentation paramétrique      III. Problèmes divers sur les courbes planes représentées paramétriquement Chapitre IV. — Courbes gauches déterminées par une représentation paramétrique        I. Plan osculateur. Étude locale       II. Problèmes divers sur les courbes gauches représentées paramétriquement      III. Courbes planes ou gauches satisfaisant à des propriétés simples Chapitre V. — Courbes planes représentées par une équation polaire        I. Tangentes       II. Étude locale d’une courbe r = f(θ)      III. Tracé d’une courbe plane représentée par une équation polaire       IV. Étude de quelques courbes Chapitre VI. — Courbes représentées par une équation f(x, y ) = 0        I. Généralités       II. Équation tangentielle d’une courbe plane      III. Construction d’une courbe déterminée par une équation f(x, y) = 0 Chapitre VII. — Enveloppe d’une famille de courbes planes        I. Enveloppe d’une famille de droites       II. Enveloppe d’une famille de courbes planes      III. Recherche pratique d’une enveloppe       IV. Développées        V. Enveloppe d’une famille de courbes planes représentées paramétriquement       VI. Courbes engendrées par un point d’un cercle qui roule sans glisser sur une droite ou un cercle      VII. Dualité en géométrie plane Chapitre VIII. — Plans tangents aux surfaces        I. Notion de surface; plan tangent       II. Surfaces réglées      III. Surfaces représentées par une équation cartésienne       IV. Problèmes sur les plans tangents Chapitre IX. — Enveloppes dans l’espace        I. Enveloppes      II*. Dualité en géométrie dans l’espace Chapitre X. — Longueur d’un arc. Courbure. Torsion        I. Longueur d’un arc       II. Rectification d’une courbe plane ou gauche      III. Courbure des courbes planes       IV. Courbure et torsion des courbes gauches Chapitre XI. — Applications géométriques des équations différentielles        I. Courbes planes. Trajectoires orthogonales       II. Courbes tracées sur une surface donnée Chapitre XII. — Intégrale curviligne Chapitre XIII. — Intégrale double        I. Calcul élémentaire des aires planes       II. Définition et propriétés de l’intégrale double      III. Calcul d’une intégrale double       IV. Échange d’une intégrale double et d’un intégrale curviligne. Application au calcul des aires Chapitre XIV. — Intégrale de surface        I. Définition et calcul de l’aire d’une portion de surface       II. Intégrales de surfaces Chapitre XV. — Intégrale triple        I. Définition et propriétés de l’intégrale triple       II. Calcul d’une intégrale triple      III. Calcul pratique des volumes Chapitre XVI. — Applications du calcul intégral à la mécanique        I. Masse       II. Centre d’inertie      III. Moments d’inertie Chapitre XVII. — Analyse vectorielle        I. Gradient d’un champ de scalaires       II. Divergence, rotationnel d’un champ de vecteurs      III. Formules différentielles d’analyse vectorielle       IV. Champs de gradients. Potentiel scalaire        V. Champs de rotationnels. Potentiel-vecteur       VI. Formules intégrales d’analyse vectorielle