Géométrie vivante ou L'échelle de Jacob

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Introduction......Page 12
Bibliographie......Page 16
I.1. Dans quel cadre, dans quel plan travaillons-nous ? Et déjà une question toute simple de Sylvester sur les alignements de points......Page 18
I.2. Une autre question naïve de Sylvester sur les probabilités géométriques de quatre points......Page 24
I.3. L'essence de la géométrie affine et le théorème fondamental......Page 31
I.4. Trois configurations du plan affine et ce qu'il en est advenu : Pappus, Desargues et Perles......Page 37
I.5. L'irrésistible nécessité de la géométrie projective et la construction du plan projectif......Page 43
I.6. Intermezzo : la droite projective et le birapport......Page 49
I.7. Retour au plan projectif : suite et fin......Page 52
I.8. Le cas complexe et mieux encore, Sylvester dans le cas complexe : la conjecture de Serre......Page 63
I.9. Trois configurations de l'espace (à trois dimensions) : Reye, Möbius et Schläfli......Page 66
I.10. Les arrangements d'hyperplans......Page 71
XYZ de I......Page 72
Bibliographie......Page 83
II.0. Introduction et la conjecture de Borsuk......Page 86
II.1. Un choix de configurations de cercles et un regard critique sur elles......Page 92
II.2. Une inversion toute seule et ce que l'on peut faire avec......Page 105
II.3. Comment composer plusieurs ? Première solution: le groupe conforme du disque et la géométrie hyperbolique plane......Page 109
II.4. Deuxième solution : le groupe conforme de la sphère, vu algébriquement puis géométriquement avec les inversions en dimension 3 (et la géométrie hyperbolique de dimension 3). L'apparition historique des premiers fractals......Page 115
II.5. L'inversion dans l'espace : le sextuple et sa généralisation grâce à la sphère de dimension 3......Page 121
II.6. Plus haut dans l'échelle : la géométrie globale des cercles et des sphères......Page 127
II.7. Les empilements hexagonaux de cercles et la représentation conforme......Page 134
II.8. La baderne d'Apollonius......Page 146
XYZ de II......Page 150
Bibliographie......Page 174
III.1. La métrique de la sphère et la trigonométrie sphérique......Page 178
III.2. Le groupe de Möbius : applications......Page 185
III.3. Mission impossible: bien répartir des points sur la sphère S2, ozone, électrons, dictateurs ennemis, balles de golf, virologie, physique de la matière condensée......Page 187
III.4. Le kissing number de S2, alias le rude problème de la treizième sphère......Page 212
III.5. Quatre problèmes ouverts pour la sphère S3......Page 215
III.6. Un problème de Banach-Ruziewicz : l'unicité de la mesure canonique......Page 217
III.7. Une approche conceptuelle pour le kissing number en dimension quelconque......Page 218
XYZ de III......Page 220
IV.1. Motivations, une définition parachutée de l'échelle et pourquoi......Page 226
IV.2. Avant Descartes : les coniques réelles euclidiennes. Définition et quelques propriétés classiques......Page 229
IV.3. L'arrivée de Descartes et la naissance de la géométrie algébrique......Page 245
IV.4. Théorie projective réelle des coniques, dualité......Page 247
IV.5. La philosophie de Klein arrive tout naturellement......Page 254
IV.6. Jouer avec deux coniques, nécessité une fois de plus de la complexification......Page 257
IV.7. Les coniques projectives complexes et l'espace de toutes les coniques......Page 262
IV.8. Le plus beau théorème sur les coniques: les polygones de Poncelet......Page 267
IV.9. Le théorème le plus difficile sur les coniques : les 3264 coniques de Chasles......Page 280
IV.10. Les quadriques......Page 286
XYZ de IV......Page 299
Bibliographie......Page 302
V.l. Les courbes planes et l'homme de la rue : le théorème de Jordan, l'Umlaufsatz et l'inégalité isopérimétrique......Page 306
V.2. Qu'est-ce qu'une courbe ? Courbes géométriques et courbes cinématiques......Page 312
V.3. La classification des courbes géométriques et le degré des applications du cercle sur lui-même......Page 315
V.4. Le théorème de Jordan......Page 317
V.5. Umlaufsatz (turning tangent theorem) et convexité globale......Page 319
V.6. Invariants euclidiens : longueur (le théorème du boulevard périphérique) et courbure (scalaire et algébrique). Nombre d'enroulement......Page 322
V.7. La courbure algébrique est un invariant caractéristique : fabrication de règles, contrôle par la courbure......Page 329
V.8. Le théorème des quatre sommets et sa réciproque ; une application à la physique......Page 332
V.9. Généralisations du théorème des quatre sommets : Arnold I......Page 339
V.10. Vers une classification des courbes fermées : Whitney et Arnold II......Page 343
V.11. L'inégalité isopérimétrique : les essais de Steiner......Page 359
V.12. L'inégalité isopérimétrique : des démonstrations sur tous les barreaux......Page 363
V.13. Courbes algébriques planes : généralités......Page 370
V.l4. Les cubiques, leur loi d'addition et les courbes elliptiques abstraites......Page 374
V.15. Courbes algébriques réelles, euclidiennes......Page 388
V.16. La géométrie d'ordre fini (Endliche Ordnung)......Page 399
XYZ de V......Page 403
Bibliographie......Page 408
VI.1. De quels objets s'agit-il et pourquoi ? Classification des surfaces compactes......Page 414
V1.2. La métrique intrinsèque et le problème du plus court chemin......Page 419
VI.3. Les géodésiques, le cut-locus et les ellipsoïdes récalcitrants......Page 421
VI.4. Un concept abstrait indispensable : les surfaces riemanniennes......Page 432
VI.5. Problèmes d'isométries : surfaces abstraites versus surfaces de E³......Page 437
VI.6. Forme locale des surfaces: la seconde forme fondamentale, courbure totale et courbure moyenne, leur interprétation géométrique, le theorema egregium, la fabrication de billes précises......Page 441
VI.7. Ce que l'on sait faire concernant la courbure totale (de Gauss)......Page 452
VI.8. Ce que l'on sait faire concernant la courbure moyenne. tout sur les bulles de savon et les billes de plomb......Page 460
VI.9. Ce que l'on ne sait pas faire (complètement) pour les surfaces......Page 467
VI.10. Les surfaces et le générique......Page 473
VI.ll. L'inégalité isopérimétrique pour les surfaces......Page 480
XYZ de VI......Page 482
Bibliographie......Page 487
Histoire et introduction......Page 492
VII.1. Fonctions convexes, exemples et premières applications......Page 495
VII.2. Fonctions convexes de plusieurs variables, un exemple important......Page 499
VII.3. Exemples de convexes......Page 501
VII.4. Trois opérations essentielles sur les convexes......Page 504
VII.4.A. Les symétrisations (de Steiner, de Schwarz)......Page 505
VII.4.B. De l'algèbre avec les convexes : l'addition de Minkowski......Page 508
VII.4.C. Une dualité : la polarité......Page 510
VII.5. Volume et aire des convexes (compacts), volumes classiques. Peut-on calculer le volume en temps polynomial ?......Page 513
VII.5.B. Boules, sphères et ellipsoïdes......Page 515
VII.5.C. Approximation par des polytopes et aires des convexes......Page 519
VII.5.D. Mission impossible: calculer numériquement le volume d'un convexe......Page 521
VII.6. Volume, aire, diamètre et symétrisations : première démonstration de l'inégalité isopérimétrique et autres applications......Page 523
VII.7. Volume et addition de Minkowski : théorème de Brunn-Minkowski et deuxième démonstration de l'inégalité isopérimétrique......Page 526
VII.8. Volume et polarité......Page 531
VII.9.A. Comment engendrer un convexe......Page 534
VII.9.B. Topologie des convexes et de leur frontière......Page 535
VII.9.C. L'ellipsoïde de John-Loewner et applications......Page 536
VII.9.D. Un premier espace métrique formé avec tous les CS-convexes : le compact de Banach-Mazur......Page 540
VII.9.E. La conjecture de Rogalski et une application de type isopérimétrique......Page 543
VII.9.F. Tester la méchanceté d'un convexe avec ses moments d'inertie : les ellipsoïdes de Legendre et de Binet (ellipsoïde d'inertie), l'invariant d'inertie et la grande conjecture sur les convexes (première formulation)......Page 545
VII.10.A. Couper par des droites, le problème des rayons X de Hammer......Page 549
VII.10.B. Couper par des hyperplans : questions générales, la grande conjecture......Page 551
VII.10.C. Les sections hyperplanes du cube......Page 555
VII.11.A. Énoncé du résultat......Page 561
VII.ll.B. Le phénomène de concentration de Paul Lévy......Page 564
VII.11.C. La démonstration......Page 567
VII.12.A. Projections......Page 568
VII.12.B. Formule de Steiner-Minkowski et volumes mixtes......Page 570
VII.12.C. Convexes et physique mathématique: le corps flottant qui perd la tête, la fréquence fondamentale, le mouvement à la Poinsot, la gravité newtonienne, le destin des rolling stones......Page 572
VII.12.D. L'allure de la frontière d'un convexe, l'espace de tous les convexes......Page 583
VII.13. Intermezzo : peut-on en finir avec l'inégalité isopérimétrique ?......Page 587
Bibliographie......Page 595
VIII.1. Introduction......Page 602
VIII.2. Notions de base......Page 603
VIII.3. Polygones......Page 605
VIII.4. Polyèdres : combinatoire......Page 611
VIII.5. Polyèdres euclidiens réguliers......Page 617
VIII.6. Polyèdres euclidiens : rigidité de Cauchy (unicité) et existence d'Alexandrov......Page 624
VIII.7. Isopérimétrie chez les polyèdres euclidiens......Page 630
VIII.8. Propriétés d'inscriptibilité chez les polyèdres euclidiens; comment mettre une sphère (un oeuf) en cage et rapport avec les empilements de cercles......Page 632
VIII.9. Polyèdres: rationalité......Page 639
VIII.10. Polytopes (d>=4) : combinatoire I......Page 641
VIII.11. Polytopes réguliers (d>=4)......Page 647
VIII.12. Polytopes (d>=4) : rationalité, combinatoire II......Page 655
VIII.13. Brèves allusions à des sujets non vraiment abordés......Page 658
Bibliographie......Page 663
IX.1. Réseaux, une droite dans le réseau standard Z² et la théorie des fractions continues, une immensité d'applications......Page 666
IX.2. Trois façons de compter les points de Z² dans des domaines variés : formules de Pick et d'Ehrhart, problème du cercle......Page 671
IX.3. Points de Z² et d'autres réseaux dans certains convexes : le théorème de Minkowski et la théorie géométrique des nombres......Page 678
IX.4. Les réseaux du plan euclidien : classification, peut-on y trouver des polygones réguliers ? Densité, analyse de Fourier sur les réseaux, spectre et dualité......Page 682
IX.5. Empiler des cercles (des disques) de même rayon dans le plan, en nombre fini ou infini (notion de densité). Autres critères......Page 693
IX.6. Empaqueter des carrés, des boîtes de conserve (plates), le problème du grillage(ou des nids d'abeilles)......Page 703
IX.7. Paver le plan avec un groupe (cristallographie). Valences, tremblements de terre......Page 705
IX.8. Pavages en dimensions supérieures......Page 713
IX.9. Algorithmique et pavages du plan : pavages apériodiques et décidabilité, classification des pavages de Penrose......Page 717
IX.10. Pavages hyperboliques et surfaces de Riemann......Page 730
Bibliographie......Page 733
X.1. Les réseaux et empilements associés de la dimension 3......Page 738
X.2. Empiler des boules au mieux en dimension 3, la conjecture de Kepler enfin résolue......Page 744
X.3. Un peu d'épistémologie risquée : le problème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler......Page 758
X.4. Réseaux en dimension quelconque : d'abord des exemples......Page 760
X.5. Réseaux en dimension quelconque : densité, laminations......Page 768
X.6. Empilements en dimension quelconque : des options variées pour l'optimalité......Page 776
X.8. Dualité, fonctions thêta, spectres et isospectralité dans les réseaux......Page 790
Bibliographie......Page 797
XI.1. Introduction et motivation : description du mouvement de deux particules de même masse à l'intérieur d'un intervalle......Page 800
XI.2. Jouer au billard dans un carré......Page 805
XI.2.B. Compter les trajectoires périodiques......Page 811
XI.2.C. Introduction du langage des systèmes dynamiques......Page 815
XI.3. Particules de masses différentes : polygones rationnels et irrationnels......Page 816
XI.4. Résultats dans le cas des polygones rationnels : premier barreau......Page 820
XI.5. Résultats dans le cas rationnel : plusieurs barreaux très hauts......Page 825
XI.5.A. Nature des trajectoires non périodiques......Page 826
XI.5.B. Comptage des trajectoires périodiques......Page 834
XI.6. Résultats dans le cas des polygones irrationnels......Page 835
XI.8. Billards concaves, billards hyperboliques......Page 841
XI.9. Cercles et ellipses......Page 845
XI.10.A. Les billards très lisses et strictement convexes : caustiques......Page 850
XI.10.B. Trois phénomènes étranges......Page 852
XI.10.D. Les trajectoires périodiques......Page 858
XI.10.E. Billards et dualités......Page 861
XI.11. Billards en dimensions supérieures......Page 863
XI.XYZ.A. Ergodicité et mélange......Page 865
XI.XYZ.B. Les diverses notions d'entropie......Page 868
Bibliographie......Page 870
Introduction......Page 874
XII.1. Le flot géodésique sur une surface : des questions......Page 876
XII.2.A. Les sphères......Page 879
XII.2.B. Les surfaces de révolution : les surfaces de Zoll......Page 880
XII.2.C. Le contre-exemple de Weinstein......Page 883
XII.2.D. Les ellipsoïdes à trois axes......Page 885
XII.2.E. Les tores plats......Page 887
XII.3.A. Le tore et les surfaces de genre supérieur......Page 889
XII.3.B. La sphère, le résultat de Birkhoff......Page 890
XII.4. Existence de plus d'une, de beaucoup de trajectoires périodiques et sait-on alors les compter ?......Page 897
XII.4.A. Le cas du tore......Page 898
XII.4.B. Les surfaces de genre supérieur......Page 900
XII.4.C. La sphère : les trois géodésiques de Lusternik-Schnirelman......Page 905
XII.4.0. La sphère : une infinité de géodésiques périodiques......Page 910
XII.5.A. Les surfaces de genre supérieur......Page 915
XII.5.B. Les entropies......Page 918
XII.5.C. Le cas de la sphère. L'exemple d'Osserman-Oonnay......Page 920
XII.5.D. Entropie et longueur des géodésiques joignant deux points donnés......Page 923
XII.6. La mécanique détermine-t-elle la métrique ?......Page 925
XII.8. Les dimensions supérieures......Page 927
Bibliographie......Page 928
Abréviations des noms de revues......Page 932
Crédit des illustrations......Page 936
Index des noms......Page 940
Index thématique......Page 946
Index des notations......Page 980