Mathematik fur Informatik und Bioinformatik

Inhaltsverzeichnis......Page 10
1.1 Ziele und Entstehung des Buchs......Page 18
1.2 Wozu dient die Mathematik in der Informatik?......Page 20
1.3 Unsere mathematische Auswahl......Page 27
2.1 Einführung in das mathematische Argumentieren......Page 28
2.2.1 Einführung......Page 36
2.2.2 Mengen und Mengenrelationen......Page 38
2.2.3 Kartesisches Produkt und Abbildungen......Page 39
2.2.4 Potenzmenge, Verallgemeinerung der Mengenoperationen......Page 45
2.2.5 Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen......Page 47
2.2.6 Relationen......Page 50
2.3.1 Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip......Page 55
2.3.2 Einführung in die Kombinatorik......Page 59
2.4.1 Begriffe und einfache Ergebnisse......Page 68
2.4.2 Eulersche Graphen......Page 73
2.4.3 Bäume......Page 75
2.5.1 Aufbau der Sprache......Page 78
2.5.2 Semantik von Ausdrücken......Page 80
2.5.3 Aussagenlogische Äquivalenz......Page 82
2.5.4 Logische Folgerung......Page 84
2.5.5 Der Resolutionskalkül......Page 85
3.1 Teilbarkeit und Kongruenzen......Page 90
3.2 Primfaktorzerlegung......Page 101
4. Einführung in die Algebra......Page 104
4.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen......Page 105
4.1.1 Halbgruppen......Page 106
4.1.2 Monoide......Page 111
4.1.3 Gruppen......Page 112
4.1.4 Die Gruppenordnung und der Satz von Lagrange......Page 114
4.1.5 Faktorgruppen und Homomorphismen......Page 115
4.1.6 Zyklische Gruppen......Page 118
4.1.7 Direktes Produkt von Monoiden und Gruppen......Page 120
4.2.1 Grundbegriffe......Page 122
4.2.2 Polynomringe......Page 125
4.2.3 Homomorphismen und Unterringe......Page 128
4.2.4 Faktorringe und Ideale......Page 131
4.2.5 Die Ringe Z und Z[sub(n)]......Page 136
4.3.1 Teilbarkeit in kommutativen Ringen......Page 140
4.3.2 Teilbarkeit in Polynomringen......Page 141
4.3.3 Ein Repräsentantensystem für K[x]/fK[x]......Page 143
4.3.4 Größter gemeinsamer Teiler in Polynomringen......Page 144
4.3.5 Primelemente in Ringen......Page 146
4.3.6 Primfaktorzerlegung in Polynomringen......Page 148
4.4.1 Codes......Page 149
4.4.2 Codierung mit Polynomen......Page 150
4.4.3 Zyklische Codes......Page 151
4.4.4 Ein öffentliches Verschlüsselungsverfahren......Page 153
4.5.1 Definition und einfache Eigenschaften Boolescher Algebren......Page 156
4.5.2 Die Boolesche Algebra der Aussagenlogik......Page 159
4.5.3 Darstellung endlicher Boolescher Algebren......Page 160
4.5.4 n-stellige Boolesche Funktionen und Polynomfunktionen......Page 163
5.1.1 Die Ordnung auf R......Page 166
5.1.2 Das Vollständigkeitsaxiom für R......Page 169
5.1.3 Axiomatische Beschreibung von R......Page 172
5.1.4 Obere und untere Grenze von Mengen......Page 173
5.2 Der Körper der komplexen Zahlen......Page 175
5.3 Folgen und Konvergenz......Page 178
5.3.1 Typen von Folgen, Konvergenz......Page 179
5.3.2 Monotone Folgen......Page 182
5.3.3 Rechenregeln für konvergente Folgen......Page 184
5.3.4 Groß O und klein o von Folgen......Page 185
5.3.5 Teilfolgen einer Folge......Page 187
5.3.6 Cauchys Konvergenzkriterium......Page 188
5.4 Unendliche Reihen......Page 189
5.4.1 Allgemeine unendliche Reihen......Page 190
5.4.2 Absolut konvergente Reihen......Page 191
5.4.3 Potenzreihen......Page 194
5.5 Komplexe Zahlenfolgen und Reihen......Page 196
6.1.1 Einfache Regeln zur Bildung von Funktionen......Page 200
6.1.2 Punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz......Page 203
6.2 Grenzwert von Funktionswerten......Page 208
6.3.1 Der Begriff Stetigkeit und Nachweis der Stetigkeit......Page 215
6.3.2 Eigenschaften stetiger Funktionen......Page 218
6.3.3 Exponentialfunktion und Logarithmus......Page 221
7.1.1 Die grundlegende Idee der Ableitung......Page 222
7.1.2 Einfache Ableitungsregeln......Page 225
7.1.3 Höhere Ableitungen......Page 227
7.2.1 Das Integral von Treppenfunktionen......Page 229
7.2.2 Das Integral von Regelfunktionen......Page 232
7.3.1 Stammfunktion und Ableitung......Page 237
7.3.2 Vertauschung von Differentiation und Konvergenz......Page 239
7.4.1 Einige elementare Ableitungsformeln......Page 242
7.4.2 Die Winkelfunktionen......Page 243
7.4.3 Die Hyperbelfunktionen......Page 244
7.4.4 Tabelle der Ableitungs- und Integrationsformeln......Page 245
7.4.5 Integrationstechniken......Page 247
7.4.6 Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen......Page 250
7.5.1 Der Satz von Rolle......Page 251
7.5.2 Die Mittelwertsätze......Page 252
7.6 Grenzwertbestimmungen......Page 255
7.7.1 Der allgemeine Entwicklungssatz......Page 257
7.7.2 Lokale Extremwerte......Page 259
7.7.3 Die Taylorreihe......Page 260
7.8 Integrale über offene und halboffene Intervalle......Page 262
8.1.1 Periodische Funktionen und Fourierreihen......Page 266
8.2 Fouriertransformation......Page 273
8.3.1 Evolutionsgleichungen......Page 278
8.3.2 Die lineare Schwingungsgleichung......Page 281
9. Vektorräume......Page 283
9.1 Vektorräume......Page 284
9.2.1 Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit......Page 294
9.2.2 Basis und Dimension......Page 297
9.2.3 Dimension von Unterräumen......Page 302
9.2.4 Endliche Körper......Page 303
9.3.1 Euklidische Vektorräume......Page 305
9.3.2 Norm und Abstand......Page 309
9.3.3 Winkel und Orthogonalität......Page 311
9.3.4 Das Vektorprodukt in R[sup(3)]......Page 315
9.3.5 Skalarprodukte auf Vektorräumen über C......Page 317
9.4 Lineare Codes......Page 319
10.1 Lineare Abbildungen......Page 323
10.2.1 Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung......Page 330
10.2.2 Summen und skalare Vielfache von Matrizen......Page 334
10.2.3 Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und Produkt von Matrizen......Page 335
10.2.4 Lineare Abbildungen und Koordinatenvektoren......Page 339
10.2.5 Matrizen und Basiswechsel......Page 340
10.2.6 Rang einer Matrix......Page 343
10.3 Eine Anwendung: Diskrete Fouriertransformation......Page 348
10.4 Determinanten......Page 351
10.5 Eigenwerte linearer Abbildungen......Page 361
10.6.1 Orthogonale Abbildungen......Page 368
10.6.2 Vektorraum-basierte Informationssuche......Page 373
10.6.3 Symmetrische Abbildungen und Matrizen......Page 375
11.1.1 Allgemeine Theorie......Page 380
11.1.2 Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme......Page 385
11.1.3 Berechnung der Inversen einer invertierbaren Matrix......Page 389
11.2 Lineare Rekursionen......Page 391
12.1.1 Allgemeine affine Räume......Page 399
12.1.2 Der affine Raum A(V)......Page 401
12.1.3 Euklidische affine Räume......Page 406
12.1.4 Geometrische Anwendungen in A(R[sup(2)]) und A(R[sup(3)])......Page 407
12.2.1 Eigenschaften affiner Abbildungen......Page 409
12.2.2 Kongruenzabbildungen auf Euklidischen affinen Räumen......Page 413
13.1 Folgen in R[sup(p)] und Folgen von Matrizen......Page 416
13.1.1 Vektor- und Matrixnormen......Page 417
13.1.2 Folgen von Vektoren und Matrizen......Page 420
13.1.3 Spezielle Klassen von Mengen......Page 424
13.2.1 Typen von Funktionen......Page 426
13.2.2 Grenzwerte......Page 428
13.2.3 Stetigkeit......Page 430
13.3 Anwendungen in der Numerik......Page 433
13.3.1 Der Fixpunktsatz von Banach......Page 434
13.3.2 Interpolation......Page 439
14.1 Kurven im R[sup(p)]......Page 443
14.2.1 Partielle Ableitungen......Page 445
14.2.2 Totale Ableitung......Page 448
14.3 Der Satz von Taylor, Extremwertbestimmungen......Page 451
14.4.1 Der Umkehrsatz......Page 454
14.4.2 Implizite Funktionen......Page 456
14.4.3 Extrema unter Nebenbedingungen......Page 458
15.1.1 Definition des Integrals......Page 461
15.1.2 Transformation von Integralen......Page 464
15.2 Integrale über R[sup(p)]......Page 466
16.1 Einleitung......Page 467
16.1.1 Drei Probleme aus der Informatik......Page 469
16.2 Wahrscheinlichkeitsräume......Page 474
16.3.1 Einführung......Page 481
16.3.2 Verteilung einer Zufallsvariablen......Page 483
16.3.3 Die wichtigsten diskreten Verteilungen......Page 484
16.3.4 Die wichtigsten stetigen Verteilungen......Page 485
16.3.5 Definition von Erwartungswert und Varianz......Page 489
16.3.6 Berechnung von Erwartungswert und Varianz......Page 491
16.3.7 Verteilungen mit stetiger Dichte......Page 492
16.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit......Page 493
16.4.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten......Page 494
16.4.2 Unabhängigkeit......Page 496
16.5.1 Das Gesetz der großen Zahl......Page 499
16.5.2 Zentraler Grenzwertsatz......Page 501
16.5.3 Verteilung seltener Ereignisse......Page 502
16.6.2 Der Poisson-Prozess......Page 504
16.6.3 Markoff–Ketten......Page 506
Literaturverzeichnis......Page 515
Index......Page 517
B......Page 519
D......Page 520
F......Page 521
H......Page 522
K......Page 523
M......Page 524
O......Page 525
R......Page 526
T......Page 527
Z......Page 528