Analyse complexe pour la Licence 3: Cours et exercices corriges

Table des Matières......Page 6
AVANT-PROPOS......Page 12
1.1 Notations et rappels......Page 16
1.2 Limite supérieure et limite inférieure......Page 17
1.3 Généralités sur les séries numériques......Page 19
1.4 Séries à termes positifs......Page 21
1.5 Convergence absolue......Page 23
1.6 Règles de Cauchy et de d'Alembert......Page 25
1.7 Séries alternées......Page 26
1.8 Séries semi- convergentes......Page 27
1.9 Série produit......Page 28
1.10 Convergence associative ou commutative......Page 29
1.11 Intégrales et séries......Page 32
Exercices......Page 34
Solutions des exercices......Page 35
2.1 Convergence simple......Page 38
2.2 Convergence uniforme......Page 39
2.4 Dérivabilité......Page 40
2.5 Intégrabilité......Page 42
2.6 Séries de fonctions......Page 43
2.7 Convergence normale......Page 44
Exercices......Page 45
Solutions des exercices......Page 46
3.1 Généralités......Page 50
3.2 Rayon de convergence......Page 51
3.3 Continuité et intégrabilité......Page 53
3.4 Dérivabilité......Page 54
3.5 Fonctions développables en série entière......Page 55
3.6 Quelques exemples......Page 57
3.7 Fonction exponentielle......Page 58
3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques......Page 60
Exercices......Page 61
Solutions des exercices......Page 62
4.1 Définition des fonctions analytiques......Page 65
4.3 Principe des zéros isolés......Page 67
Solutions des exercices......Page 69
5.1 Rappels......Page 73
5.2 Conditions de Cauchy- Riemann......Page 74
5.3 Déterminations continues du logarithme......Page 77
5.4 Autres déterminations continues......Page 79
Exercices......Page 80
Solutions des exercices......Page 81
6.1 Arcs et chemins......Page 82
6.2 Intégration complexe......Page 84
6.3 Indice......Page 86
6.4 Existence des primitives......Page 87
6.5 Analyticité des fonctions holomorphes......Page 92
6.6 Fonctions circulaires réciproques......Page 94
Exercices......Page 97
Solutions des exercices......Page 98
7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences......Page 99
7.2 Principe du maximum......Page 100
7.3 Lemme de Schwarz et applications......Page 102
7.4 Suites et séries......Page 104
7.5 Holomorphie et intégration......Page 106
Exercices......Page 109
Solutions des exercices......Page 110
8.1 Un point de topologie......Page 113
8.2 Singularités isolées......Page 114
8.3 Fonctions méromorphes......Page 116
8.4 Théorème des résidus......Page 117
8.5 Théorème de l'indice......Page 119
8.6 Théorème de Rouché......Page 121
8.7 Inversion locale......Page 122
8.8 Séries de fonctions méromorphes......Page 124
Exercices......Page 127
Solutions des exercices......Page 128
9.1 Produits infinis de nombres complexes......Page 131
9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes......Page 134
Exercices......Page 138
Solutions des exercices......Page 139
10.1 Homotopie et simple connexité......Page 141
10.2 Primitive le long d'un arc......Page 145
10.3 Indice......Page 147
10.4 Formule de Cauchy......Page 150
10.5 Séries de Laurent......Page 152
10.6 Les généralisations......Page 155
Exercices......Page 157
Solutions des exercices......Page 158
11.1 Produit canonique de Weierstrass......Page 160
11.2 Applications......Page 162
11.3 Idéaux......Page 165
Exercices......Page 167
Solutions des exercices......Page 168
12.1 Topologie......Page 169
12.2 Un résultat d'isomorphisme......Page 172
12.3 Conservation des angles......Page 174
Exercices......Page 175
Solutions des exercices......Page 177
13.1 Théorèmes de Picard......Page 179
13.2 Théorème de Runge......Page 184
Exercices......Page 191
Solutions des exercices......Page 192
14.1 Premières propriétés......Page 194
14.2 Représentation intégrale......Page 196
Exercices......Page 199
Solutions des exercices......Page 200
15.1 Quelques lemmes......Page 201
15.2 Quelques méthodes......Page 203
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES......Page 212
Index......Page 214