Courbes et dimension fractale

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
1.1 Dualité ensemble-mesure......Page 20
1.2 Ensembles fermés et intervalles contigus......Page 22
1.3 Ensembles parfaits......Page 23
1.4 Arbres dyadiques et puissance d'un parfait......Page 25
1.5 Ensembles parfaits symétriques......Page 27
1.6 Représentation des parfaits par des arbres......Page 29
1.7 Références bibliographiques......Page 32
2.1 Qu'est-ce que la mesure nulle ?......Page 34
2.2 Hiérarchisation des ensembles de mesure nulle......Page 36
2.3 Mesure de Cantor-Minkowski d'un ensemble......Page 38
2.4 Occupation de l'espace et ordres de croissance......Page 40
2.5 Ordres de croissance et dimension......Page 42
2.6 Formulations équivalentes de la dimension......Page 45
2.7 Exemples de calcul de dimension......Page 46
2.8 Quelques propriétés de la dimension......Page 48
2.9 Dimensions supérieure et inférieure......Page 49
2.10 Références bibliographiques......Page 51
3.1 Raréfaction logarithmique de Borel......Page 54
3.3 Ordres de croissance équivalents......Page 55
3.4 Les contigus et la dimension fractale......Page 57
3.5 Algorithmes pour le calcul de la dimension......Page 59
3.6 Références bibliographiques......Page 62
4.1 Quelques types d'ensembles du plan......Page 64
4.2 Vitesses, trajectoires......Page 65
4.3 La définition d'une courbe......Page 66
4.4 Références bibliographiques......Page 67
5.2 Distance de Hausdorff......Page 70
5.3 Courbes polygonales d'approximation......Page 73
5.4 La longueur d'une courbe......Page 75
5.5 Deux notions distinctes......Page 77
5.6 Mesure de longueur par le compas......Page 79
5.7 Références bibliographiques......Page 80
6.1 Paramétrisation par longueur d'arc......Page 82
6.3 La longueur, par la vitesse instantanée......Page 83
6.4 L'escalier du diable......Page 85
6.5 La longueur, par la vitesse moyenne locale......Page 90
6.6 Références bibliographiques......Page 93
7.1 Tangente, cône, enveloppes convexes......Page 94
7.2 Relations entre propriétés locales......Page 96
7.3 Contre-exemples......Page 98
7.4 Tangente presque partout......Page 101
7.5 Longueur locale, presque partout......Page 103
7.6 Retour sur la rectifiabilité......Page 104
7.7 Références bibliographiques......Page 105
8.1 Intersections, projections......Page 108
8.2 Mesure de familles de droites......Page 109
8.3 Famille des droites coupant un ensemble......Page 112
8.4 Cas des ensembles convexes......Page 114
8.5 La longueur, par les droites sécantes......Page 116
8.6 La longueur, par les projections......Page 120
8.7 Application : calcul pratique de la longueur......Page 121
8.8 La longueur, par les intersections aléatoires......Page 123
8.10 Références bibliographiques......Page 125
9.1 Saucisse de Minkowski......Page 128
9.2 La longueur, par l'aire d'une saucisse......Page 129
9.3 Convergence de l'algorithme des saucisses......Page 132
9.4 Réduction des boules à des segments parallèles......Page 134
9.5 Références bibliographiques......Page 136
10.1 Qu'est-ce que la longueur infinie?......Page 138
10.2 Deux exemples......Page 140
10.3 Dimension......Page 141
10.4 Quelques exemples de dimension de courbes......Page 144
10.5 Recouvrements classiques : boules et boîtes......Page 147
10.6 Recouvrements par des figures quelconques......Page 151
10.7 Recouvrements de courbes par des croix......Page 154
10.8 Références bibliographiques......Page 156
11.1 Qu'est-ce qu'une courbe fractale ?......Page 158
11.2 Une courbe fractale est nulle part rectifiable......Page 160
11.3 Diamètre, taille......Page 162
11.4 Caractérisation d'une courbe fractale......Page 164
12.1 Courbes paramétrées par l'abcisse......Page 166
12.3 Variation d'une fonction......Page 167
12.4 Dimension fractale d'un graphe......Page 171
12.5 Exposant de Hôlder......Page 173
12.6 Autres fonctions d'irrégularité......Page 175
12.7 Les dimensions associées etc......Page 178
12.8 Calculs de dimension de graphes......Page 179
12.9 Références bibliographiques......Page 184
13.1 Le modèle le plus simple: La fonction de Knopp......Page 186
13.3 Fonction de Weierstrass......Page 188
13.4 Affinité interne: construction de graphes de fonctions......Page 192
13.5 Affinité interne: dimension des graphes......Page 196
13.6 Invariance par changements d'échelle......Page 199
13.7 La fonction de Weierstrass-Mandelbrot......Page 203
13.8 Le spectre des fonctions invariantes......Page 205
13.9 Références bibliographiques......Page 207
14.1 Similitudes......Page 210
14.2 Structure de similitude interne......Page 212
14.3 Générateur et existence d'une courbe limite......Page 215
14.4 Critère de simplicité......Page 218
14.5 Exposant de similitude et dimension......Page 221
14.6 Exemples......Page 223
14.7 La paramétrisation naturelle......Page 227
14.8 L'algorithme des tailles locales......Page 231
14.9 Références bibliographiques......Page 233
15.2 Déviation d'un ensemble......Page 236
15.3 Chemin de déviation constante......Page 239
15.4 Indice de recouvrement......Page 241
15.5 Déviations locales et saucisse de Minkowski......Page 242
15.6 Définition d'une courbe expansive......Page 243
15.7 Critères d'expansivité......Page 245
15.8 Les courbes à similitude interne sont expansives......Page 249
15.9 La similitude interne statistique......Page 250
15.10 Comment construire une courbe expansive......Page 252
15.12 Références bibliographiques......Page 257
16.1 Quelles longueurs ?......Page 258
16.2 Notion de jauge......Page 259
16.3 Longueur selon une jauge......Page 260
16.4 Dimension associée à une jauge......Page 261
16.6 Théorème sur la dimension : forme continue......Page 263
16.7 Les jauges diamètre et largeur......Page 266
16.8 Courbes de largeur uniforme......Page 267
16.9 Le cas de la similitude interne......Page 269
16.10 Un modèle de graphe de fonction......Page 270
16.11 Des courbes plus générales......Page 272
16.12 Evaluation de la dimension d'une courbe......Page 275
16.13 Références bibliographiques......Page 279
17.1 Dimension directionnelle......Page 280
17.2 Comparaison entre dimensions......Page 282
17.3 Exemples et applications......Page 283
17.4 Systèmes de coordonnées......Page 285
17.5 Intersections par des droites......Page 289
17.6 Borne supérieure essentielle......Page 291
17.7 Intersections uniformes......Page 292
17.8 Intersection par une courbe moyenne......Page 293
17.9 Références bibliographiques......Page 295
18.1 Demi-saucisses......Page 296
18.2 Autres expressions des dimensions latérales......Page 297
18.3 Valeurs possibles des dimensions latérales......Page 300
18.4 Exemples......Page 301
18.5 L'opération Minkowski inverse......Page 305
18.6 Références bibliographiques......Page 308
19.1 Structures locales de quelques courbes......Page 310
19.2 Dimension locale......Page 311
19.3 Dimension d'empilement......Page 314
19.4 Valeurs prises par la dimension d'empilement......Page 316
19.5 La a-stabilisation......Page 319
19.6 Références bibliographiques......Page 320
20.1 Mesures singulières......Page 322
20.3 Hölder et la dimension fractale......Page 324
20.4 Hölder et la dimension d'empilement......Page 326
20.5 Dimension de Hausdorff......Page 327
20.6 Hölder et la dimension de Hausdorff......Page 329
20.8 Mesures régulières sur un support singulier......Page 331
20.9 Mesure irrégulière sur un intervalle......Page 333
20.10 La structure fine des ensembles E(o:)......Page 336
20.11 Références bibliographiques......Page 339
21.1 Spectre d'exposants locaux......Page 340
21.2 Spectre de la mesure binomiale......Page 341
21.3 Autres spectres locaux......Page 342
21.4 Moments d'une mesure......Page 343
21.5 Spectre de Legendre......Page 348
21.6 Égalité entre deux spectres......Page 350
21.7 Formalisme multifractal......Page 351
21.8 Spectres de fonctions......Page 353
21.9 Références bibliographiques......Page 354
A.1 Convergence......Page 356
A.2 Suites non convergentes......Page 358
A.4 Limites du rapport logf(t)/logg(t)......Page 360
A.5 Quelques applications......Page 362
B.1 Lemme de Vitali......Page 364
B.2 Recouvrements par des convexes homothétiques......Page 367
C.1 Convexité......Page 372
C.2 Taille d'un ensemble convexe......Page 373
C.3 Largeur d'un ensemble convexe......Page 376
C.5 Enveloppe convexe......Page 381
C.6 Périmètre de l'enveloppe convexe d'une courbe......Page 383
C.7 Aire de l'enveloppe convexe d'une courbe......Page 384
Références......Page 386
Index......Page 392