Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения

ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 4
Основные условные обозначения......Page 7
Введение......Page 8
Некоторые обозначения и определения......Page 25
Моменты остановки......Page 29
Мартингалы и супермартингалы......Page 32
Примеры......Page 34
Преобразования последовательностей......Page 37
Неравенства для максимумов......Page 38
Пересечения......Page 42
Существование предела......Page 45
Усиленный закон больших чисел......Page 51
Применения к абсолютной непрерывности мер......Page 52
Теоремы о разложении супермартингалов......Page 54
Дальнейшие неравенства......Page 56
Неравенства Буркхольдера......Page 58
Существование регулярных модификаций......Page 64
Винеровский процесс......Page 68
Существование предела......Page 71
Теорема Дуба о свободном выборе......Page 72
Процессы класса D......Page 78
Локальные мартингалы......Page 79
Предварительные определения......Page 80
Прогрессивно измеримые процессы......Page 81
Предсказуемые и вполне измеримые процессы......Page 83
Предсказуемые моменты остановки......Page 86
Теоремы о сечениях......Page 91
Разложение моментов остановки......Page 92
Мера Долеан......Page 95
Предсказуемые и вполне измеримые проекции процессов......Page 102
Дуальные предсказуемые проекции мер......Page 104
Теорема Мейера......Page 112
Пространства мартингалов......Page 115
Характеристика квадратично интегрируемых мартингалов......Page 117
Локально квадратично интегрируемые мартингалы......Page 123
Мартингалы с непрерывными характеристиками......Page 125
Разложение полумартингалов......Page 129
Возрастающий процесс, связанный с полумартингалом......Page 132
Квадратическая вариация полумартигала......Page 135
Интегрирование предсказуемых процессов по мартингалам......Page 138
Интегрирование по квазинепрерывным мартингалам......Page 147
Интегрирование по локально квадратичным мартингалам......Page 151
Интегрирование по векторным мартингалам......Page 153
Устойчивые подпространства мартингалов......Page 159
Формула Ито для непрерывных полумартингалов......Page 164
Непрерывные мартингалы и винеровский процесс......Page 171
Оценка моментов непрерывных мартингалов......Page 174
Представление мартингалов стохастическими интегралами......Page 175
Представление функционалов от винеровского процесса......Page 179
Случайные меры......Page 182
Случайные целочисленные меры......Page 187
Компенсированные меры скачков случайного процесса......Page 188
Векторные полумартингалы......Page 191
Интегрирование по мартингальным мерам......Page 192
Формула Ито для полумартингалов......Page 197
Пуассонова мера......Page 213
§ 5. Преобразование мартингалов при замене меры......Page 218
Локальная безграничная делимость......Page 224
О представлении процессов с независимыми приращениями с гладкими характеристиками......Page 225
Стохастическое дифференциальное уравнение. Марковский случай......Page 228
Единственность решения......Page 232
Теоремы существования......Page 237
Предельная теорема......Page 249
О линейных уравнениях......Page 257
Стохастические уравнения, зависящие от параметра......Page 262
Уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого......Page 272
Определение стохастического уравнения......Page 279
Условие единственности решения......Page 282
Теоремы существования......Page 286
Предельная теорема......Page 297
Вид случайного поля, входящего в стохастическое уравнение......Page 307
Криволинейный интеграл от поля вдоль случайной кривой......Page 309
Теорема единственности......Page 318
Теоремы существования......Page 322
Слабая компактность мер в С и D......Page 329
Возрастающие процессы и процессы ограниченной вариации......Page 333
Мартингалы......Page 344
Компактность мер, соответствующих стохастическим интегралам......Page 350
Локально безгранично делимые стохастические уравнения......Page 358
Уравнения с мартингалами и случайными мерами......Page 377
Уравнения в случайных полях......Page 384
§ 3. Сходимость случайных процессов к решениям стохастических уравнений......Page 389
Сходимость к винеровскому процессу......Page 390
Сходимость к пуассоновскому процессу и пуассоновской мере......Page 399
Сходимость последовательности цепей Маркова к решению стохастического уравнения......Page 406
Общая теорема о сходимости к решению стохастического уравнения......Page 416
Сходимость к процессу с независимыми приращениями......Page 428
Конечноразностные аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений......Page 430
Конечноразностные аппроксимации и предельные теоремы......Page 439
Интегральная непрерывность по параметру решения стохастического дифференциального уравнения......Page 456
Экспоненциальные мартингалы и замена меры......Page 464
Абсолютная непрерывная замена меры в стохастическом уравнении......Page 468
Преобразование стохастических уравнений при абсолютно непрерывной замене меры......Page 476
Марковское свойство решений стохастических уравнений с гладкими коэффициентами......Page 483
Стохастические уравнения и связанные с ними интегро- дифференциальные операторы......Page 490
О плотности распределения для решений стохастических уравнений......Page 503
Локальное существование и локальная слабая единственность......Page 507
Определение квазигладкого марковского процесса......Page 523
Представление семейства мартингалов и точечных мер......Page 527
Стохастическое уравнение для квазигладкого марковского процесса......Page 536
Теорема единственности......Page 538
Аппроксимация коэффициентов уравнения......Page 539
Существование сильного решения......Page 544
Слабые решения......Page 552
Решения уравнения с измеримыми коэффициентами......Page 562
Слабая единственность решения......Page 568
Граничная задача для параболического уравнения......Page 576
Стохастические уравнения для процессов с отражением на границе......Page 587
Сильные решения......Page 595
Краткий исторический обзор......Page 603
Список литературы......Page 605