КубГУ, 2 курс, 3-ий семестр, 2010 г.
Преподаватель: Колотий А. Д.
Отсканированные рукописные лекции по предмету - «Дифференциальные уравнения».
Содержание:
- Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель).
- Линейные уравнения 1-го порядка.
- Лемма Гронуолла — Белмана.
- Теорема о существовании и единственности решения (Пикара) для одного дифференциального уравнения.
- Определение непродолжаемого решения. Теорема о непродолжаемых решениях (без док-ва). Теорема Пеано (без док-ва). Теорема о гладкости решения дифференциального уравнения.
- Теорема Пикара для систем.
- Теорема о существовании и единственности для линейных систем.
- Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 1 — 3).
- Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 4 — 5).
- Теорема Лиувилля для линейных систем.
- Фундаментальная матрица и её свойства.
- Линейные неоднородные системы. Утверждение и следствие. Метод вариации произвольных постоянных.
- Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Эквивалентность уравнения n-ого порядка и системы. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-ого порядка.
- Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 1 — 3).
- Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 4 — 5).
- Теорема Лиувилля. Понижение порядка линейного однородного уравнения.
- Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного уравнения n-ого порядка.
- Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами, случай простых характеристических чисел. Построение общего вещественного решения.
- Лемма о линейной независимости функций вида (x^k) * e^(лямбда с индексом m * x) = тут пояснение по-русски ((икс в степени k) умножить на е в степени (лямба эмтое умножить на икс).
- Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, случай кратных характеристических чисел.
- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в нерезонансном случае.
- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в резонансном случае.
- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в вещественном случае.
- Свойства нулей решения дифференциальных уравнений. Леммы 1 —
2. Следствие.
- Теорема сравнения Штурма. Замечания.
- Следствия 1 — 4.
- Зависимость решения от начальных значений и параметров. Лемма Адамара.
- Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений от параметров.
- Следствие из теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений. Получение задач для производных по параметру и начальным условиям.
- Решений линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
