Traité de mathématiques spéciales

Le Traité de mathématiques spéciales de Cagnac, Ramis et Commeau était destiné aux élèves des deux années de classes préparatoires ainsi qu’aux élèves du premier cycle des Facultés. Son contenu est conforme aux programmes du 21 janvier 1963 et du 25 mars 1964 pour les classes préparatoires et du 30 juin 1966 pour le premier cycle des Facultés. Le tome I (Algèbre) comprend essentiellement l’étude des structures algébriques, du corps des rationnels et du corps des complexes, des polynômes, fractions rationnelles et équations algébriques, enfin de l’algèbre linéaire. La fin du cours d’Algèbre (formes quadratiques, hermitiennes,…) a été reportée au début du tome III. Le tome II (Analyse) contient d’une part l’étude des fonctions réelles ou complexes d’une ou de plusieurs variables réelles, d’autre part celle de la partie théorique du programme de calcul différentiel et intégral. Un premier chapitre est consacré à une introduction du corps des réels; un dernier chapitre rassemble ce que les élèves ont à savoir sur les calculs numériques en vue des travaux pratiques. Deux appendices, conformes au programme MP des Facultés, contiennent l’un, des notions de Topologie, l’autre une initiation aux fonctions holomorphes. Le tome III (Géométrie) comprend deux parties. La première partie (Compléments d’Algèbre) est une suite naturelle du tome I. Elle comprend essentiellement : – une étude des formes quadratiques et hermitiennes, des espaces vectoriels euclidiens et hermitiens ; – une introduction axiomatique de la géométrie affine, de la géométrie projective et de la géométrie euclidienne. La seconde partie est consacrée à l’Application de l’Algèbre à la Géométrie. Elle comprend : – une étude des questions traditionnelles de Géométrie : droites et plans, torseurs, courbes et surfaces usuelles étudiées d’un point de vue algébrique ; – une étude des coniques, conçue comme une illustration de la théorie des formes quadratiques. Le tome IV (Applications de l’Analyse à la Géométrie) contient la géométrie différentielle, les intégrales multiples, les calculs de longueurs, aires, volumes, etc., l’analyse vectorielle et les applications géométriques des équations différentielles. Table des matières du tome III : Première partie — Compléments d’algèbre Chapitre I. — Formes quadratiques        I. Définition. Propriétés fondamentales       II. Classification des formes quadratiques      III. Étude d’une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie. Décomposition en carrés       IV. Formes quadratiques sur un espace vectoriel réel Chapitre II. — Espaces vectoriels euclidiens        I. Produit scalaire et orthogonalité       II. Groupes orthogonaux Chapitre III. — Espaces vectoriels hermitiens        I. Formes sesquilinéaires       II. Formes hermitiennes      III. Produit scalaire hermitien et orthogonalité       IV. Le groupe unitaire Chapitre IV. — Matrices hermitiennes. Matrices symétriques réelles Chapitre V. — Espaces affines        I. Définition. Propriétés       II. Variétés linéaires affines. Droites et plans      III. Applications affines       IV. Hyperplans affines        V. Espace affine euclidien Chapitre VI. — Espaces projectifs        I. Définition. Coordonnées homogènes       II. Birapport de quatre points d’une droite projective      III. Variétés linéaires projectives. Droites, plans et hyperplans       IV. Repères Chapitre VII. — Applications homographiques d’un espace projectif sur un autre        I. Groupe projectif       II. Applications homographiques d’une droite projective sur elle-même      III. Exemples d’applications homographiques       IV. Dualité dans les espaces projectifs Chapitre VIII. — Liaison entre espaces affines et espaces projectifs Chapitre IX. — Complexification Chapitre X. — Éléments de géométrie euclidienne        I. Isométries       II. Angles      III. Produit mixte. Produit vectoriel Problèmes de récapitulation sur la première partie Deuxième partie — Géométrie Chapitre XI. — Éléments de géométrie euclidienne        I. Points et directions en géométrie affine       II. Introduction des longueurs et des angles      III. Produit scalaire. Produit vectoriel Chapitre XII. — Introduction à la géométrie analytique        I. Les repères       II. Représentation analytique d’un ensemble de points (coordonnées cartésiennes)      III. Représentation analytique d’un ensemble de points dans le plan (coordonnées polaires) Chapitre XIII. — La droite et le plan        I. Représentations paramétriques de la droite et du plan       II. Représentation cartésienne de la droite et du plan      III. Faisceaux de droites et de plans       IV. La droite et le plan en géométrie euclidienne        V. Exemples d’endomorphismes dans un espace vectoriel euclidien Chapitre XIV. — Vecteurs glissants        I. Moments       II. Torseurs      III. Systèmes particuliers de vecteurs glissants Chapitre XV. — Le cercle et la sphère        I. Représentation analytique       II. Puissance d’un point      III. Orthogonalité. Éléments conjugués       IV. Faisceaux linéaires de cercles        V. Familles de cercles orthogonaux       VI. Quadrangle harmonique Chapitre XVI. — Les lieux géométriques        I. Méthodes de recherche d’un lieu géométrique       II. Génération des surfaces Chapitre XVII. — Propriétés projectives des coniques        I. Définition. Classification       II. Conjugaison      III. Intersection d’une conique et d’une droite       IV. Coniques dans le plan projectif dual        V. Représentations paramétriques. Générations homographiques       VI. Étude projective des faisceaux de coniques Chapitre XVIII. — Propriétés affines des coniques Chapitre XIX. — Propriétés métriques des coniques        I. Éléments isotropes. Points cycliques       II. Directions principales. Équations réduites      III. Foyers et directrices       IV. Compléments sur les faisceaux de coniques Chapitre XX. — Équations réduites des quadriques