Géométrie contemporaine 2e partie : géométrie et topologie des variétés

Page de titre......Page 1
Avant-propos......Page 7
1. Définition d'une variété......Page 9
2. Applications de variétés ; tenseurs sur une variété......Page 13
3. Plongements et immersions de variétés. Les variétés à bord......Page 16
1. Les surfaces dans l'espace euclidien. Groupes des transformations comme variétés......Page 17
2. Espaces projectifs......Page 22
1. Structure du voisinage du point unité d'un groupe de Lie. Algèbre de Lie du groupe. Semi-simplicité......Page 26
2. Notion de représentation (linéaire). Exemple d'un groupe de Lie non matriciel......Page 32
1. Définitions et exemples......Page 34
2. Surfaces riemanniennes comme variétés......Page 40
1. Action d'un groupe sur une variété......Page 44
2. Exemples d'espaces homogènes......Page 45
1. Notion d'espace symétrique......Page 49
2. Groupe d'isométrie ; propriétés de son algèbre de Lie......Page 51
3. Espaces symétriques des types 1 et 2......Page 53
4. Les groupes de Lie comme espaces symétriques......Page 54
5. Construction des espaces symétriques. Exemples......Page 56
1. Variétés construites sur des vecteurs tangents......Page 61
2. Pibré normal à une sous-variété......Page 63
8. Partition de l'unité. Applications......Page 66
1. Partition de l'unité......Page 67
2. Quelques exemples de partition de l'unité. Intégration sur une variété et formule de Stokes......Page 70
3. Métriques invariantes......Page 75
9. Réalisation de variétés compactes sous forme de surfaces dans R^N......Page 77
1. Représentation approchée des applications continues par des applications différentiables......Page 78
2. Lemme de Sard......Page 80
3. Régularité transversale......Page 84
4. Fonctions de Morse......Page 87
1. Existence des plongements et des immersions......Page 91
2. Fonctions de Morse comme fonctions de la hauteur......Page 94
3. Points focaux......Page 96
1. Définition de l'homotopie. Possibilité de l'approximation différentiable......Page 99
2. Homotopies relatives......Page 101
1. Définition du degré......Page 102
2. Généralisations de la définition du degré......Page 103
3. Classification homotopique des applications d'une variété dans une sphère......Page 105
4. Quelques exemples élémentaires......Page 106
1. Le degré et l'intégrale......Page 109
2. Degré du champ de vecteurs sur une hypersurface......Page 110
3. Nombre de Whitney. Formule de Gauss-Bonnet......Page 113
4. Indice d'un point singulier du champ de vecteurs......Page 117
5. Surface transversale d'un champ de vecteurs. Théorème de Poincaré-Bendixson......Page 121
1. Définition de l'indice d'intersection......Page 124
2. Indice total des points singuliers d'un champ de vecteurs......Page 126
3. Nombre algébrique des points fixes. Théorème de Brouwer......Page 128
4. Coefficient d'enlacement......Page 130
1. Transport de l'orientation le long d'un chemin......Page 133
2. Exemples de variétés non orientables......Page 135
1. Définition du groupe fondamental......Page 136
2. Influence du point de base......Page 137
3. Classes d'homotopie libre d'applications d'un cercle......Page 138
4. Equivalence d'homotopie......Page 139
5. Exemples......Page 141
1. Définition et propriétés fondamentales des revêtements......Page 143
2. Exemples élémentaires. Revêtement universel......Page 145
3. Revêtements ramifiés. Surfaces riemanniennes......Page 148
4. Revêtements et groupes discrets......Page 150
1. Monodromie......Page 151
2. Calcul du groupe fondamental au moyen des revêtements......Page 154
3. Groupe d'homologie élémentaire......Page 156
20. Groupes discrets des déplacements du plan lobatchevskien......Page 159
1. Définitions fondamentales......Page 176
2. Groupes d'homotopie relatifs. Suite exacte d'un couple......Page 179
1. Notion de fibration......Page 182
2. Suite exacte d'une fibration......Page 184
3. Dépendance des groupes d'homotopie par rapport au point de base......Page 187
4. Cas des groupes de Lie......Page 189
5. Multiplication de Whitehead......Page 192
1. Variétés équipées et groupes d'homotopie des sphères......Page 194
2. Suspension......Page 199
3. Calcul des groupes π_n+l(S^n)......Page 200
4. Groupes π_n+2(S^n)......Page 202
1. Notion de fibré différentiable......Page 205
2. Connexion......Page 209
3. Calcul des groupes d'homotopie à l'aide des fibrés......Page 212
4. Classification des fibrés......Page 218
5. Fibrés vectoriels et opérations sur ces fibrés......Page 223
6. Fonctions méromorphes......Page 225
7. Formule de Picard-Lefschetz......Page 229
1. Les G-connexions dans les fibrés principaux......Page 231
2. Exemples de G-connexions dans les fibrés associés......Page 236
3. Courbure......Page 240
4. Classes caractéristiques. Constructions......Page 245
5. Classes caractéristiques. Enumération......Page 252
1. Groupe d'un noeud......Page 259
2. Polynôme d'Alexander......Page 262
3. Fibré associé au noeud......Page 263
4. Enlacements......Page 265
5. Tresses......Page 266
1. Définitions fondamentales......Page 269
2. Systèmes dynamiques sur un tore......Page 272
1. Systèmes de Hamilton sur le fibré cotangent......Page 277
2. Systèmes de Hamilton sur les variétés symplectiques. Exemples......Page 279
3. Flots géodésiques......Page 281
4. Théorème de Liouville......Page 283
5. Exemples......Page 285
1. Définitions fondamentales......Page 289
2. Quelques exemples de feuilletages de codimension 1......Page 293
1. Formalisme de Hamilton......Page 298
2. Exemples......Page 301
3. Intégration des équations de commutativité. Analogie avec le problème de S. Kovalevskaïa. Potentiels périodiques à un nombre fini de zones......Page 304
4. L'équation de Korteweg-de Vries est un système de Hamilton de dimension infinie......Page 308
1. Position du problème......Page 311
2. Solutions à symétrie sphérique......Page 312
3. Solutions à symétrie axiale......Page 321
4. Modèles cosmologiques......Page 325
5. Modèles de Friedmann......Page 327
6. Modèles anisotropes dans le vide......Page 331
7. Modèles plus généraux......Page 335
1. Considérations générales. Solutions monopoles......Page 340
2. Equation de dualité......Page 345
3. Champs chiraux. Intégrale de Dirichlet......Page 349
33. Minimalité des sous-variétés complexes......Page 358
Bibliographie......Page 363
Index......Page 366