Курс чистой математики профессора Кэмбриджского университета Г. Харди представляет интерес в первую очередь для лиц, ведущих преподавание математического анализа в высшей школе.
Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь, но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно элементарных понятий.Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего университетского курса математического анализа. Поэтому он умышленно обходит такие понятия как равномерная сходимость, кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п. Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются со всей необходимой математической строгостью. Основная ценность книги заключается в большом количестве содержащихся в ней удачно подобранных интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа. При решении этих задач может быть достигнут тот уровень владения аппаратом математического анализа, который необходим для плодотворного применения анализа, как к различным разделам самой математики, так и к вопросам точного естествознания и техники.
О Т Р Е Д А К Ц И И
„ Курс чистой математики" профессора Кэмбриджского универ ¬
ситета Г. Харди *) представляет интерес в первую очередь для лиц,
ведущих преподавание математического анализа в высшей школе.
Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит боль ¬
шого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь,
но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные
положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно
элементарных понятий.
Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего
университетского курса математического анализа. Поэтому он
умышленно обходит такие понятия как равномерная сходимость,
кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п.
Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются
со всей необходимой математической строгостью.
Основная ценность книги заключается в большом количестве
содержащихся в ней удачно подобранных интересных задач и при ¬
меров, представляющих собой хороший материал для самостоятель ¬
ной проработки важнейших положений анализа. При решении этих
задач может быть достигнут тот уровень владения аппаратом мате ¬
матического анализа, который необходим для плодотворного при ¬
менения анализа, как к различным разделам самой математики, так
и к вопросам точного естествознания и техники.
В русской математической литературе имеется ряд прекрасных
обстоятельных курсов математического анализа. Ни в какой мере
не заменяя их, книга Г. Харди может послужить дополнением к этим
руководствам.
Author(s): Харди Г.Х.
Publisher: Иностранная Литература
Year: 1949
Language: Russian
Commentary: чуть-чуть уменьшил поля от колхозной версии
Pages: 512
City: Москва
( В конце содержания каждой главы, мелким шрифтом приведен перечень
некоторых вопросов, рассмотренных в примерах )
О т р е д а к ц и и 5
И з п р е д и с л о в и я а в т о р а к п е р в о м у и з д а н и ю 7
П р е д и с л о в и е а в т о р а к с е д ь м о м у и з д а н и ю 7
П р е д и с л о в и е а в т о р а к д е в я т о м у и з д а н и ю 8
ГЛАВА I ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Рациональные числа 9
Действительные числа 11
Иррациональные числа 21
Соотношения величины между действительными числами 22
Алгебраические действия над действительными числами 24
Число V2 26
Квадратичные иррациональности 26
Континуум 30
Непрерывное действительное переменное 33
Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда 33
Точки накопления 36
Теорема Вейерштрасса 37
Разные примеры 37
Десятичные дроби, 9. Теорема Гаусса, 14. Графическое решение квадрат¬
ных уравнений, 27. Важные неравенства, 38. Среднее арифметическое и
среднее геометрическое, 39. Неравенство Коши, 39. Кубические и другие
иррациональности, 41. Алгебраические числа, 44.
ГЛАВА II ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Понятие функции 46
Графическое представление функций. Координаты 48
Полярные координаты 50
Полиномы 51
Дробно-рациональные функции 54
Алгебраические функции 56
Трансцендентные функции 59
Графическое решение уравнений 64
Функции от двух переменных и их графическое представление 65
Кривые на плоскости 66
Геометрические места в пространстве 67
Разные примеры 71
Тригонометрические функции, 60. Арифметические функции, 62. Цилиндры,68,
Карты поверхности, линии уровня, 68. Конические поверхности, 69. Поверхности вращения, 69. Линейчатые поверхности, 70. Геометрические построения иррациональных чисел, 72. Квадратура круга, 74.
ГЛАВА III КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 34
Смещения 75
Квадратное Комплексные уравнение числа с действительными коэффициентами . 83 86
Диаграмма Аргана 89
Теорема Муавра 90
Рациональные функции комплексного переменного 92
Разные Корни из примеры комплексных чисел 106 ЮЗ
Свойства треугольника, 93, 94, Уравнения с комплексными коэффициен¬
тами, 95. Соосные окружности, 97. Дробно-линейные и другие преобразования, 98, 101, 109. Двойные отношения, 100. Условие того, что четыре точки лежат на одной окружности, 101. Комплексно-значные функции действительного переменного, 102, Построение правильных многоугольников с помощью
циркуля и линейки, 105, Мнимые точки и прямые, 107.
ГЛАВА IV ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА 50
Функции целочисленного положительного аргумента 112
Интерполяция 113
Конечные и бесконечные классы 114
Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n 115
Определение предела и другие определения 122
Колеблющиеся функции 126
Общие теоремы о пределах 130
Монотонно возрастающие или убывающие функции 136
Другое доказательство теоремы Вейерштрасса 138
Предел х^n 139
Предел (1 + 1/n)^n 142
Некоторые алгебраические леммы 143
Предел n(nVх — 1)
Бесконечные ряды 145
Бесконечная геометрическая прогрессия 148
Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов 152
Грани ограниченной совокупности 154
Грани ограниченной функции 155
Верхний и нижний пределы ограниченной функции 155
Общий признак сходимости 157
Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами 158
Приложения к z^n и к геометрической прогрессии 161
Символы О, о, ~ 162
Разные примеры 164
ГЛАВА V ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пределы при х —> оо или x — — оо 171
Пределы при x -> a 174
ГЛАВА VI ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
ГЛАВА VII ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ГЛАВА VIII СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ГЛАВА IX ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ГЛАВА X ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Приложение I. Неравенства Гёльдера и Минковского 492
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень 497
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах 503
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии 506
