Ce livre introduit le concept de Probabilité, dont la puissance permet de modéliser d'innombrables situations où le hasard intervient. II est issu d'un cours donné en première année de l'Ecole Polytechnique et s'adresse à tous les élèves, quelle que soit leur filière d'origine. La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d'applications, qu'ils soient issus des sciences dures ou des sciences humaines, telles la physique, l'informatique et les réseaux de télécommunication, et plus récemment la finance, l'assurance, la biologie et la médecine. Cette liste n'est pas exhaustive mais reflète l'immense champ de développement de cette science mathématique et son emprise sur les grandes évolutions technologiques et sociologiques de notre monde. Pour pouvoir modéliser tant de situations de nature très différente où le hasard intervient, un cadre général abstrait est nécessaire, qui ne fut rigoureusement défini qu'en 1933 (le modèle probabiliste de Kolmogorov), nécessitant préalablement le développement de théories d'analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure. C'est ce grand écart entre l'apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets et l'abstraction que nécessite leur résolution qui peut rendre le monde de l'aléatoire difficile ou inquiétant, mais c'est aussi ce qui en fait un domaine mathématique fascinant et palpitant. Le but de ce livre est d'en convaincre le lecteur, par une introduction qui se veut simple et lumineuse, des notions de base de la théorie des probabilités. Il n'exige pas de pré-requis en théorie de la mesure et de l'intégration. Les outils d'analyse nécessaires à une bonne compréhension des objets probabilistes sont donnés au fur et à mesure de leur construction, mettant ainsi en lumière leur nécessité. Le corpus du livre va de la définition d'une probabilité au théorème de la limite centrale, avec de plus un dernier chapitre d'ouverture vers les processus aléatoires. A la fin de chaque chapitre sont donnés des exercices dont les corrections sont développées en fin de livre. Quelques textes d'examens sont également proposés et corrigés. Des simulations, proposées dans ce cours de l'Ecole polytechnique, peuvent accompagner la lecture de cet ouvrage et en illustrer la compréhension. Elles se trouvent à l'adresse http://www.cmapx.polytechnique.fr/-benaych/aleatoire_index.html. Nous remercions en cela la participation de leur auteur Florent Benaych-Georges.
Author(s): Josselin Garnier, Sylvie Méléard
Series: Mathématiques appliquées
Edition: draft
Publisher: Diff. Ellipses, Les Ed. de l’École polytechnique
Year: 2018
Language: French
Pages: 272
City: Palaiseau, Paris
Tags: Probabilités;Probabilités -- Manuels d’enseignement supérieur;Aléatoire -- Manuels d’enseignement supérieur
Introduction......Page 7
Avant-propos......Page 8
Phénomènes aléatoires......Page 9
Conditionnement et indépendance......Page 10
Simulation de variables aléatoires......Page 11
Historique......Page 12
Expériences et événements......Page 15
Probabilité - Premières propriétés......Page 19
Définition......Page 21
Modèles d'urnes......Page 23
Les ensembles dénombrables......Page 28
Tribu......Page 29
Définition d'une probabilité......Page 31
Probabilités sur un espace dénombrable......Page 34
Loi d'une variable aléatoire......Page 35
Probabilités conditionnelles......Page 38
Indépendance......Page 41
Le lemme de Borel-Cantelli......Page 44
Exercices sur le chapitre 2......Page 46
Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries......Page 49
Variables aléatoires discrètes......Page 51
Définition......Page 52
Propriétés de l'espérance des variables aléatoires discrètes......Page 54
Variance et écart-type......Page 55
Un résultat fondamental - Moments d'une variable al”éatoire......Page 57
Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs entières......Page 58
Variable aléatoire de Bernoulli......Page 60
Variable aléatoire binomiale......Page 61
Probabilité de succès et variable aléatoire géométrique......Page 63
Variable aléatoire de Poisson......Page 64
Lois conditionnelles......Page 66
Espérance conditionnelle......Page 68
Variables aléatoires indépendantes......Page 70
Somme de variables aléatoires indépendantes......Page 72
Exercices sur le chapitre 3......Page 74
Les variables aléatoires réelles......Page 79
Fonction de répartition......Page 81
Variables aléatoires de loi à densité......Page 85
Variable aléatoire uniforme sur [0,1] et générateurs de nombres aléatoires......Page 88
Simulation d'une variable aléatoire par inversion de la fonction de répartition......Page 89
Définition......Page 90
Variance et Covariance......Page 94
Approximation linéaire......Page 96
Calculs d'espérances dans le cas avec densité......Page 97
Variable aléatoire uniforme sur [a,b]......Page 98
Variable aléatoire exponentielle......Page 99
Variable aléatoire de loi gamma......Page 102
Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes)......Page 103
Inégalité de Bienaymé-Chebyshev......Page 108
Inégalité de Jensen......Page 109
Vecteurs aléatoires......Page 110
Vecteurs aléatoires......Page 112
Moments d'un vecteur aléatoire......Page 113
Densités marginales et conditionnelles......Page 114
Indépendance de deux variables aléatoires......Page 118
Suite de variables aléatoires indépendantes......Page 120
Un théorème d'identification......Page 122
Recherche de densité......Page 123
Inversion de la fonction de répartition......Page 127
Méthode du rejet......Page 128
Exercices sur le chapitre 4......Page 131
Convergences et loi des grands nombres......Page 137
Convergences de variables aléatoires......Page 138
La loi des grands nombres......Page 143
Méthode de Monte-Carlo......Page 147
Exercices sur le chapitre 5......Page 149
Définition et premières propriétés......Page 153
Exemples......Page 155
Propriété fondamentale......Page 157
Somme de vecteurs aléatoires indépendants......Page 159
Fonction caractéristique et moments......Page 160
Vecteurs gaussiens......Page 161
Convergence en loi......Page 164
Le théorème de la limite centrale......Page 168
Exercices sur le chapitre 6......Page 172
Statistique......Page 175
Estimation ponctuelle......Page 176
Qualités d'un estimateur......Page 178
Estimateurs empiriques......Page 181
Méthode des moments......Page 186
Maximum de vraisemblance......Page 188
Intervalle de confiance et estimation......Page 192
Intervalles exacts pour le modèle gaussien......Page 195
Résultats asymptotiques......Page 203
Tests et erreurs......Page 208
Modèle gaussien......Page 211
Test du 2 (test du chi-deux)......Page 213
Exercices sur le chapitre 7......Page 222
Modèles dynamiques aléatoires......Page 227
Marche aléatoire......Page 228
Somme aléatoire de variables aléatoires indépendantes......Page 232
Processus de branchement......Page 234
Percolation sur un arbre......Page 239
Un modèle simple en temps discret......Page 241
Stabilité: étude analytique......Page 243
Probabilités de transition......Page 246
Stabilité......Page 249
Exercices sur le chapitre 8......Page 250
Corrigés des exercices du chapitre 2......Page 255
Corrigés des exercices du chapitre 3......Page 260
Corrigés des exercices du chapitre 4......Page 265
Corrigés des exercices du chapitre 5......Page 271
Corrigés des exercices du chapitre 6......Page 274
Corrigés des exercices du chapitre 7......Page 278
Corrigés des exercices du chapitre 8......Page 287
Textes et corrigés d'examens......Page 293
Bibliographie......Page 318
Index......Page 323
