Элементарная математика

Предисловие ко второму изданию * 9
О пользовании книгой 11
Введение 13

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Г л а в а I. Действительные и комплексные числа 18
§ 1. Действительные числа. Координаты 18
1. Натуральные числа (18), 2. Простые и составные числа. Признаки дели¬
мости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дррби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6. Иррацио¬
нальные числа. Действительные числа (31), 7. Действия с приближенными
числами (35). 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
Упражнения 45
§2. Степени и корни * 46
9. Степени с натуральными показателями (4 6). 10. Степени с целыми пока ¬
зателями ( 47). 11. Корни ( 48). 12. Степени с рациональными показате¬
лями. Степени с действительными показателями (51), 13. Алгоритм извлече¬
ния квадратного корня (52).
Упражнения 56
§3. Комплексные числа 57
14. Основные понятия и определения (57). 15. Рациональные действия с
комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа (62). 17. Действия с
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула
Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66 ).
Упражнения 69

Г л а в а II. Тождественные преобразовання 70
§1. Рациональные алгебраические выражения , * 70
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены (70). 20. Форму¬
лы сокращенного умножения (7 4 ). 21. Бииом Ньютона (75). 22. Разло¬
жение многочлена иа множители (78). 23. Дробные алгебраические выражения (79).
Упражнения 80
§2. Иррациональные алгебраические выражения * 80
24. Радикалы нз алгебраических выражений (80). 25. Освобождение от ир*
рациональности в знаменателе дроби (84).
Упражнения 85

Г л а в а III . Логарифмы 87
§1. Логарифмы по произвольному основанию 87
26. Определение и свойства логарифмов (87 ). 27. Логарифмы по различным
основаниям. Модуль перехода (92).
Упражнения 94
§2. Десятичные логарифмы 94
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (91). 29. Применение
десятичных логарифмов к вычислениям (9 8).
Упражнения 100

Г л а в а IV. Функции и графики 101
§1. Общие сведения о функциях 101
30. Величина. Числовые множества ( 101 ). 31. Определение функции ( 102 ).
32. График функции. Способы задания функции ( 104 ). 33. Элементарное ис¬
следование поведения функции ( 106 ). 34 . Сложная функция ( 109 ), 35. Об¬
ратная функция (109 ). 36. Функции нескольких переменных ( 112 ).
Упражнения 113
§2. Элементарные функции 113
37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115).
39. Квадратичная функция у=ах* ( 118). 40. Степенная функция у
41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с —рациональ х п ( 120 )¬ .
ным показателем степени ( 121 ). 42. Показательная функция ( 125 ). 43. Ло¬
гарифмическая функция (127 ).
Упражнения 127
§3. Преобразование графиков 128
44. Параллельный сдвиг графика ( 128). 4 5. График квадратного трехчлена
(130 ). 46. График дробно-линейной функции ( 133 ). 47. Преобразование сим ¬
метрии. Сжатие н растяжение графика ( 134 ). 48. Построение графиков функ¬
ций у=|f(л)|,y-~f(1х|),у={f(|х|)|(136 ). 49. Сложение графиков (140).
Упражнения 142
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях 142
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов ( 142 ).
51. Схема Горнера . Теорема Безу (14 5). 52 . Нули многочлена. Разложение
многочлена на множители ( 147 ).
Упражнения 150

Г л а в а V. Уравнения 151
§1 . Общие сведения об уравнениях 151
53. Уравнение. Корни уравиеиия ( 151 ). 54. Равносильные уравнения ( 152 ).
55. Системы уравнений ( 155 ). 56. Графическое решение уравнений (157 ).
Упражнения . 158
§2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной 158
57. Число и кратность корней ( 158 ). 58. Уравнения первой степени (линей ¬
ные уравнения ) ( 159 ). 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения
( 160 ). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители
(164 )* 61. Исследование квадратного уравнения ( 165). 62. Уравнения выс ¬
ших степеней. Целые корни ( 167 ). 63. Двучленные уравнения ( 169 ).
64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170 ). 65. Возвратные уравнения
( 172 ).
Упражнения 172
§3. Системы алгебраических уравнений 173
66 . Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследова ¬
ние линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными ( 176 ). 68. Систе¬
мы
* состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения ( 183 ).
69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений
высших степеней ( 186 ) ,
Упражнения 190
§4, Иррациональные * показательные и логарифмические уравнения . . . 191
70. Иррациональные уравнения ( 191 ). 71. Показательные уравнения ( 195 ).
72. Логарифмические уравнения ( 197 ). 73. Разные уравнения. Системы урав¬
нений ( 199 ).
Упражнения * , , . 201

Г л а в а VI . Неравенства . * * . 203
§1 . Числовые и алгебраические неравенства 203
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами (2 03). 75. Алгебраиче¬
ские неравенства ( 208 ).
Упражнения 210
§2. Решение неравенств . . . . * 2 1 1
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211 ).
77. Графическое решение неравенств (212 ). 78. Линейные неравенства. Си ¬
стемы линейных неравенств (213). 79. Квадратные неравенства ( 217 ) *
80. Неравенства высших степеней , Неравенства * содержащие дробные рацио-
нальиые функции от х (219) . 8 ]. Иррациональные, показательные и логариф¬
мические неравенства (222). 82. Неравенства с двумя неизвестными ( 225).
Упражнения 227

Г л а в а VII. Последовательности 228
§ 1 . Предел последовательности 228
83. Числовая последовательность (228). 84. Предел числовой последователь'
ности ( 230 ). 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
§ 2. Арифметическая прогрессия . 238
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена (238). 87. Свойства
арифметической прогрессии (239). 88. Формула для суммы п членов арифме¬
тической прогрессии (240 ).
Упражнения 241
§ 3. Геометрическая прогрессия 242
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена ( 2 42 ). 90. Свойства
геометрической прогрессии ( 244 ). 91. Формулы для суммы п членов геомет¬
рической прогрессии (24 5 ). 92. Бесконечно убывающая геометрическая про¬
грессия (246 ).
Упражнения 248

Г л а в а VIII. Тригонометрические функции угла (дуги) 249
§1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги 249
93. Вектор, проекция вектора (249). 94. Положительные углы и дуги, мень¬
шие 360° (251 ). 95. Углы и дуги, большие- 360° ( 251). 96 Отрицательные
углы. Сложение и вычитание углов (252 ).
Упражнения 254
§2. Тригонометрические функции произвольного угла 254
97. Определение основных тригонометрических функций (254 ). 98. Изменение
основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л.(259).
Упражнения 264
§3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
же угла 264
99. Основные тригонометрические тождества ( 2 64). 100. Вычисление значений
тригонометрических функций по значению одной из них (266). 101. Значения
тригонометрических функций некоторых углов (267).
Упражнения 269
§4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 270
102. Четность и нечетность (270). ЮЗ. Понятие периодцческой функции
(271). 104. Периодичность тригонометрических функций (273).
Упражнения 276
§5. Формулы приведения 276
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных
углов (27 6). 106. Формулы приведения (278).
Упражнения 283

Г л а в а IX . Тригонометрические функции числового аргумента и их гра¬
фики 284
§1. Тригонометрические функции числового аргумента 284
107. Определение ( 284 ). 108. Области определения и области изменения
значений тригонометрических функций ( 285). 109. Некоторые неравенства и
их следствия ( 283).
Упражнения 287
§2. Графики тригонометрических функций 287
110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций ( 287 ).
111 . Основные графики (288 ). 112 . Примеры построения графиков некоторых
других тригонометрических функций (293). 113. Дальнейшие примеры по¬
строения графиков функций (295).
Упражнения 298

Г л а в а X. Преобразование тригонометрических выражений 299
§1. Формулы сложения и вычитания 299
114. Расстояние между двумя точками па плоскости (299). 115. Косинус суммы
и разности двух аргументов (300). 11 6. Сннус суммы и разности двух аргу¬
ментов (301 ). 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов (302 ).
118. О формулах сложения для нескольких аргументов (303).
Упражнения 303
§2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin па
и cos па через степени sin а и cos а 303
119. Тригонометрические функции двойного аргумента (303). 120. Выражение
sin «а и cos /га через степени sin а и cos а при натуральном числе п (305).
1 21. Тригонометрические функции половинного аргумента (.306). 122 . Выра ¬
жение основных тригонометрических функций аргумента а через tg (а/2 ) (30S).
Упражнения 309
§3. Преобразование в сумму выражений вида sin a cos р, cos а cos (3 и
sin а sin [3 310
123. Основные формулы (310). 124. Примеры (310).
Упражнения 311
§4. Преобразование в произведение сумм вида sin а ± sin В, cos а ±
125 = cosp . Основные и t g a i t g f формулы (312 ). 126. Примеры (3|3). 312
Упражнения 315
§5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью
введения вспомогательного аргумента 316
127. Преобразование в произведение выражения a sfn а +Ь cos а (316).
128. Преобразование в произведение выражений a sin а + Ь и а cos ct -f- fc при
0 < I b [ < I а| (317). 129. Преобразование в произведение выражения
a tg a -'rb (318 ).
Упражнения 318

Г л а в а XI. Обратные тригонометрические функции и их графики , , . 319
§1. Функции arcsin х, arccosx, arctgx и arcctgx 319
130. Функция #=arcsin х (арксинус) (319). 131. Функция #=arccos х (аркко¬
синус) (321 ). 132. Функция y= arctg х (арктангенс) (322). 133. Функция
j/= arcctgx (арккотангенс) (324). 134. Пример (325).
Упражнения 326
§2. Операции над обратными тригонометрическими функциями 327
135. Тригонометрические операции (327). 136. Операции сложения (вычи ¬
тания ) (332).
Упражнения , 335
§3. Обратные тригонометрические операции иад тригонометрическими
функциями 336
137. Функция j/=aicsln (sin д:) (336). 138. Функция y= aictg (tg х ) (337).
Упражнения 338

Г л а в а XII. Тригонометрические уравнения и неравенства 339
§1. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических
функций 339
139. Уравнение sin х=а (340 ). 140. Уравнение cos х=а (341 ). 141. Уравне¬
ние tg х ~ а (343). 142. Уравнение ctg х=а (343). 143. Некоторые дополне¬
ния ( 344 ).
Упражнения . . . . . . . 345
§2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента . . 345
144. Сущность способа (345). 145. Некоторые типы уравнений, приводящих ¬
ся к уравнениям относительно функции одного аргумента (346 ). 146. Способ
разложения на множители (350 ) . 147 . Решение рациональных тригонометри ¬
ческих уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки
tg(x/2)=/(353).
Упражнения , . . . 356
§3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и
систем 356
148. Введение вспомогательного аргумента (356 ). 149. Преобразование произведсния в сумму или разность (358 ). 150 . Переход к функциям удвоенного
аргумента ( 359 ). 151 . Решение уравнения типа tg ax + tg |3x~ tg 6* ( 362).
152. Применение подстановок sin х ± cos х — у (364 ). 153. Системы тригономе¬
трических уравнений (365).
Упражнения * 373
§4. Решение тригонометрических неравенств 374
154. Простейшие тригонометрические неравенства ( 374 ). 155 . Примеры три ¬
гонометрических неравенств, сводящихся к простейшим ( 377 ).
Упражнения 378

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ

Г л а в а XIII. Основные понятия 379
§1. Точка, прямая , плоскость. Фигуры и тела 379
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379 ). 157. Плоскость. Фигуры и тела
(380 ). 158. Угол (381 ). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382).
160. Равенство фигур. Движение (384). 161. Равенство тел (386),
§2. Измерение геометрических величин 386
162. Сложение отрезков. Длина отрезка (386 ). 163. Общая мера двух отрез- .
ков (389 ). 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных (390 ). 165. Изме¬
рение углов (391 ), 166, Радианная мера угла ( 393). 167. Измерение площа¬
дей (395). 168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллеле¬
пипеда (397 ).
Упражнения 399

Г л а в а XIV. Перпендикулярные и параллельные прямые. Задачи на по¬
строение 400
§1. Перпендикулярные и параллельные прямые 400
169. Перпендикуляр и наклонные ( 400 ). 170. Свойство перпендикуляра, про¬
веденного к отрезку в его середине (4 02 ). 171. Параллельные прямые ( 402 ).
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей ( 404 ).
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами (405),
§2. Геометрические места точек. Окружность 407
174. Геометрическое место точек (407 ). 175. Свойство биссектрисы угла
(407). 176. Окружность ( 408 ). 177. Взаимное расположение прямой и ок ¬
ружности. Касательная и секущая ( 409). 178. Хорда н диаметр. Сектор и
сегменту ( 411 ). 179. Взаимное расположение двух окружностей (412).
перпендикуляров ( 415). 182. Построение углов (416 ). 183. Другие задачи
на построение ( 418 ),
Упражнения 419

Г л а в а XV. Треугольники, четырехугольники 420
§1. Треугольники 420
184. Стороны н углы треугольника ( 421 ). 185. Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность ( 422 ). 186. Оси симметрии сторон треугольника. Опи¬
санная окружность ( 423). 187. Медианы н высоты треугольника (425).
188. Равенство треугольников (425). 189. Построение треугольников ( 427).
190. Равнобедренные треугольники (430 ), 191, Прямоугольные треугольники
(430).
Упражнения 432
§2. Параллелограммы 432
192. Четырехугольники (432 ). 193. Параллелограмм и его свойства ( 433),
194. Прямоугольник (434). 195, Ромб. Квадрат (435).
Упражнения . 436
§3. Трапеция 436
196. Трапеция ( 436 ). 197. Средняя линия треугольника ( 439). 198. Сред¬
няя линия трапеции (440 ). 199. Деление отрезка на равные части ( 441 ).
Упражнения 442
§4. Площади треугольников и четырехугольников 442
200. Площадь параллелограмма ( 442 ). 201, Площадь треугольника (44 3).
202. Площадь трапеции ( 445 ).

Г л а в а XVI. Подобие геометрических фигур 446
§1. Пропорциональные отрезки 446
203. Пропорциональные отрезки ( 446 ). 204. Свойства биссектрис внутреннего
и внешнего углов треугольника (4 49 ),
Упражнения 451
§2. Подобное преобразование фигур (гомотетия ) 451
205. Определение гомотетичных фигур ( 451 ). 206. Свойства преобразования
подобия ( 4 53).
§3. Общее подобное соответствие фигур 456
207. Подобные фигуры ( 4 56 ). 20S. Периметры и площади подобных треуголь¬
ников ( 459 ). 209. Применение подобия к решению задач на построение ( 460 ).
Упражнения 461

Г л а в а XVII . Метрические соотношения в треугольнике и круге . . . . 462
§1. Углы и пропорциональные отрезки в круге 462
210. Углы с вершиной на окружности (462). 211. Углы с вершиной внутри
и вне круга (463) . 212. Угол, под которым виден данный отрезок ( 464 ).
213. Четырехугольники, вписанные В окружность (466). 21 4. Пропорциональ¬
ные отрезки в круге (467 ). 215 . Задачи на построение ( 468 ).
Упражнения 470
§2. Метрические соотношения в треугольнике 470
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пи¬
фагора (470 ). 217 . Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого
угла в треугольнике. Теорема косинусов (473) . 218. Теорема синусов. Фор ¬
мула Герона (476 ) , 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478 ) .
Упражнения 480
§3. Решение треугольников 481
220 . Таблицы функций (481 ). 221 . Решение треугольников. Сводка основных
формул (487 ). 222. Решение прямоугольных треугольников (489 ). 223. Ре¬
шение косоугольных треугольников (490).
Упражнения 498

Г л а в а XVIII . Правильные многоугольники. Длина окружности и пло¬
щадь круга 499
§1. Правильные многоугольники 499
224, Выпуклые многоугольники ( 499). 225, Правильные многоугольники
(501). 226. Соотношения между стороной , радиусом и апофемой (502 ) .
227. Периметр и площадь правильного л-угольника (503 ). 228. Удвоение чи ¬
сла сторон правильного многоугольника (504 ).
Упражнения 507
229 Длина окружности (507 ). 230. Площадь круга и его частей (510)
Упражнения. 513

Г л а в а XIX. Прямые и плоскости в пространстве 514
§1. Взаимное расположение прямых и плоскостей 514
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве ( 514 ) . 232. Взаим¬
ное расположение прямой линии и плоскости (515). 533. Взаимное располо ¬
жение двух плоскостей (518 ). 234. Свойства параллельных прямых и плоско¬
стей (518 ). 2 35. Построения в стереометрии (520 ).
§2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 521
236. Перпендикуляр к плоскости (5 21 ) , 237. Перпендикуляр н наклонные
(523). 238. Угол между прямой и плоскостью (524 ). 239. Связь между пер ¬
пендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей (525). 240. Об ¬
щий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).
Упражнения 528
§3. Двугранные и многогранные углы 528
241. Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости
245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).
Упражнения 538

Г л а в а XX, Многогранники и круглые тела 539
§1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр 539
247. Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542 ). 249. Объемы
призм н цилиндров (543). 250. Площадь боковой поверхности призмы (544 ).
251. Площадь поверхности цилиндра (545).
Упражнения 547
§2. Пирамида. Конус 547
252. Свойства пирамиды и конуса (547 ). 253. Объем пирамиды и конуса
(551). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса
(554). 255. Усеченный конус и усеченная пирамида (556 ).
Упражнения 559
§3. Шаровая поверхность. Шар 55Э
256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара и его частей (562 ) ,
258. Площадь поверхности шара и ее частей (566). 259. Понятие телесного
угла (568).
Упражнения 569
Ответы к упражнениям 570

Приложения 581
Предметный указатель 583