Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ: учебное пособие для студентов университетов и технических вузов

Обложка......Page 1
Титульный лист оригинала......Page 2
Аннотация......Page 3
Оглавление......Page 4
Предисловие......Page 14
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ......Page 24
1.1.1. Вещественные числа......Page 26
1.1.2. Геометрическое представление комплексных чисел......Page 27
1.1.3. Алгебраическое представление комплексных чисел......Page 30
1.1.4. Модуль и сопряжение......Page 31
1.1.5. Тригонометрическое представление комплексных чисел......Page 32
1.1.6. Степени и корни......Page 33
1.2.1. Множества и операции над ними......Page 35
1.2.2. Декартово произведение......Page 38
1.3.1. Бинарное отношение......Page 39
1.3.2. Эквивалентность......Page 40
1.4.1. Алгебраические операции......Page 42
1.4.2. Обратные операции......Page 44
1.5.1. Общая группа......Page 47
1.5.2. Подгруппа......Page 49
1.5.3. Смежные классы......Page 50
1.5.4. Нормальный делитель......Page 51
1.5.5. Абелева группа......Page 53
1.5.7. Циклическая подгруппа......Page 54
1.6.1. Кольцо......Page 56
1.6.3. Поле и числа......Page 58
1.7.1. Линейное пространство......Page 61
1.7.2. Подпространство......Page 63
1.7.3. Изоморфные пространства......Page 64
1.7.4. Арифметическое пространство......Page 67
1.7.6. Конечномерные и бесконечномерные пространства......Page 68
2.1.1. Линейная комбинация и оболочка......Page 70
2.1.2. Линейная зависимость и независимость......Page 71
2.1.3. Представление одних векторов через другие......Page 73
2.2.1. Эквивалентные системы......Page 77
2.2.2. База и ранг системы......Page 79
2.2.3. Структура арифметического пространства......Page 81
2.2.4. Структура общего конечномерного пространства......Page 82
2.2.5. Базис и координаты......Page 83
3.1.1. Конечные суммы......Page 86
3.1.2. Конечные произведения......Page 87
3.2.1. Матрицы......Page 88
3.2.2. Операции над матрицами......Page 89
3.2.3. Диагональные матрицы......Page 93
3.2.4. Перестановочные матрицы......Page 94
3.2.5. Кольца и линейные пространства......Page 95
3.2.6. Компактная форма матрицы......Page 97
3.3.1. Транспонирование и сопряжение матрицы......Page 99
3.4.1 Матрицы перестановок......Page 101
3.4.2. Элементарные матрицы масштабирования......Page 104
3.4.4. Элементарные матрицы и преобразования......Page 105
3.4.5. Эквивалентность и ранг......Page 107
3.4.6. Матрицы типа $N_r$ и $М_r$......Page 108
3.5.1. Треугольные матрицы......Page 109
3.5.3. Почти треугольные и ленточные матрицы......Page 110
3.5.4. Профильные матрицы......Page 111
3.5.5. Блочные матрицы......Page 112
3.6.1. Шаги метода Гаусса......Page 114
3.6.2. Преобразование матрицы к простейшему виду......Page 116
3.6.3. Преобразование специальных матриц......Page 120
3.6.4. Выбор ведущего элемента......Page 121
3.7.1. Линейные операторы......Page 122
3.7.2. Матрица линейного оператора......Page 126
3.7.3. Изоморфизм линейных операторов и матриц......Page 127
4.1.1. Перестановки......Page 132
4.1.2. Определитель и его простейшие свойства......Page 134
4.1.3. Определители некоторых матриц......Page 137
4.1.4. Определитель и линейная зависимость......Page 138
4.2.1. Разложение определителя......Page 139
4.2.2. Определители некоторых блочных матриц......Page 143
4.2.3. Определитель произведения матриц......Page 144
4.3.1. Ранг и независимость......Page 147
4.3.2. Ранг и ведущие миноры......Page 148
4.3.3. Матрицы полного и малого ранга......Page 150
4.3.4. Свойства ранга......Page 152
4.4.1. Невырожденная или неособенная матрица......Page 154
4.4.2. Обратная матрица......Page 155
4.4.3. Вычисление обратной матрицы......Page 158
4.4.4. Модификация обратной матрицы......Page 159
4.4.5. Вполне положительные и ассоциированные матрицы......Page 161
4.4.6. Симметричные и кососимметричные матрицы......Page 162
5.1.1. Евклидово и унитарное пространство......Page 164
5.1.2. Свойства скалярного произведения......Page 165
5.2.1. Нормированные и ортогональные векторы......Page 168
5.2.2. Ортонормированный базис......Page 171
5.2.4. Изоморфизм пространств со скалярным произведением......Page 173
5.2.5. Ортогональность и сопряженные матрицы......Page 175
5.3.1. Ортогональное дополнение......Page 176
5.3.2. Снова биортонормированные системы и базисы......Page 178
5.3.3. Сумма, прямая сумма и пересечение подпространств......Page 179
5.3.4. Ортогональная сумма подпространств......Page 182
5.4.1. Длина и расстояние......Page 184
5.4.2. Угол......Page 185
5.4.3. Перпендикуляр и проекция......Page 187
5.4.4. Объем......Page 192
6.1.1. Основные понятия и простейшие факты......Page 196
6.1.2. Матрично-векторная запись......Page 197
6.2.1. Метод Гаусса......Page 198
6.2.2. Каноническая система уравнений......Page 200
6.3.1. Теорема Кронекера-Капелли......Page 201
6.3.2. Общие свойства решений системы......Page 202
6.3.3. Критерии и формулы......Page 204
6.4.1. Образ и ядро матрицы......Page 206
6.4.2. Альтернатива и теорема Фредгольма......Page 208
6.5.1. Нормальное решение......Page 210
6.5.2. Псевдорешение......Page 211
6.5.3. Нормальное псевдорешение......Page 212
6.5.4. Псевдообратная матрица......Page 213
6.6.1. Столбцы и строки матриц $А$, $А^*$, $А^+$......Page 215
6.6.2. Свойства минимальности......Page 218
6.6.3. Матричное определение $А^'$......Page 219
6.6.4. Скелетное разложение и матрица $А^+$......Page 220
6.6.5. Проекторы......Page 224
6.6.6. Сопряженные системы уравнений......Page 225
6.7.1. Плоскость......Page 226
6.7.2. Гиперплоскость и прямая......Page 227
6.7.3. Геометрическая интерпретация систем уравнений......Page 230
6.8.1. Проекция на линейную оболочку......Page 232
6.8.2. Матрица и определитель Грама......Page 233
6.8.3. Ортогональные системы и определитель Грама......Page 235
7.1.1. Группа многочленов......Page 238
7.1.2. Кольцо многочленов......Page 240
7.1.3. Деление многочленов......Page 241
7.2.1. Корни многочленов......Page 243
7.2.2. Различные представления многочленов......Page 244
7.2.3. Алгебраически замкнутое поле......Page 247
7.2.4. Многочлен как функция......Page 249
7.2.5. Вещественные многочлены......Page 253
8.1.1. Преобразование координат......Page 256
8.1.2. Эквивалентные матрицы......Page 258
8.1.3. Подобные матрицы......Page 260
8.2.1. Собственные значения и собственные векторы......Page 261
8.2.2. Характеристический многочлен......Page 266
8.2.3. Кратность собственных значений......Page 270
8.3.1. Строение матрицы простой структуры......Page 272
8.3.2. Свойства матрицы простой структуры......Page 273
8.3.3. Ортогональность в собственных векторах......Page 276
9.1.1. Общие свойства инвариантных подпространств......Page 282
9.1.2. Критерии инвариантных подпространств......Page 284
9.1.3. Нахождение инвариантных подпространств......Page 286
9.2.1. Вспомогательные утверждения для общего случая......Page 287
9.2.2. Инвариантные подпространства и блочные матрицы......Page 288
9.2.3. Вложенные инвариантные подпространства......Page 291
9.2.4. Подобие треугольной матрице......Page 293
9.2.5. Подобие блочно-диагональной матрице......Page 295
9.3.1. Вспомогательные утверждения для вещественного случая......Page 296
9.3.2. Вещественное подобие блочно-треугольной матрице......Page 298
9.3.3. Вещественное подобие блочно-диагональной матрице......Page 300
9.4.1. Кольцо матричных многочленов......Page 303
9.4.2. Инвариантные, спектральные и другие свойства......Page 304
9.4.3. Нильпотентная матрица......Page 307
9.4.4. Теорема Гамильтона-Кэли......Page 308
9.5.1. Многочлены и разложение пространства......Page 310
9.5.2. Корневые векторы......Page 312
9.5.3. Высота корневого вектора......Page 313
9.5.4. Корневой базис Жордана......Page 315
9.5.5. Каноническая форма Жордана......Page 317
9.5.6. Некоторые следствия......Page 319
10.1.1. Простейшие нормальные матрицы......Page 322
10.1.2. Собственные векторы нормальной матрицы......Page 323
10.1.3. Инвариантность ортогонального дополнения......Page 325
10.1.4. Нормальные матрицы и многочлены......Page 327
10.2.1. Унитарные матрицы......Page 328
10.2.2. Критерии унитарности......Page 329
10.2.3. Унитарные преобразования......Page 332
10.2.4. Метрические свойства......Page 334
10.2.5. Ортогональные матрицы и преобразования......Page 336
10.3.1. Эрмитовы матрицы......Page 338
10.3.2. Критерии эрмитовости......Page 340
10.3.3. Вещественные симметричные матрицы......Page 341
10.3.4. Косоэрмитовы матрицы......Page 342
10.3.5. Вещественные кососимметричные матрицы......Page 343
10.3.6. Эрмитово разложение матрицы......Page 344
11.1.1. Элементарные преобразования и треугольные матрицы......Page 348
11.1.2. $LU$-разложение общей матрицы......Page 350
11.1.4. Блочное $LU$-разложение......Page 353
11.1.5. $LU$-разложение эрмитовой матрицы......Page 356
11.1.6. Перестановки......Page 358
11.1.7. Эквивалентные знаковые утверждения......Page 361
11.2.1. Матрицы вращения......Page 363
11.2.2. Матрицы отражения......Page 365
11.2.3. $QR$-разложение общей матрицы......Page 368
11.3.1. Сингулярные числа матрицы......Page 370
11.3.2. Сингулярные базисы матрицы......Page 371
11.3.3. Сингулярное разложение матрицы......Page 372
11.3.4. Сингулярное разложение в различных свойствах......Page 373
11.4.1. Полярное разложение матрицы......Page 376
11.4.2. Полярное разложение в различных свойствах......Page 378
11.4.3. Кронекерово произведение матриц......Page 380
11.4.4. Спектральные свойства кронекерова произведения......Page 381
11.4.5. Специальные кронекеровы произведения......Page 383
12.1.1. Билинейные формы......Page 386
12.1.2. Симметричные и кососимметричные билинейные формы......Page 387
12.1.3. Эрмитовы билинейные формы......Page 389
12.1.4. Симметричные и кососимметричные эрмитовы формы......Page 391
12.2.1. Матрица билинейной формы......Page 392
12.2.2. Зависимость от выбора базиса......Page 393
12.2.3. Конгруэнтные матрицы и преобразования......Page 394
12.2.4. Унитарные конгруэнтные преобразования......Page 396
12.2.5. Общие конгруэнтные преобразования......Page 397
12.2.6. Билинейные формы в паре базисов......Page 401
12.3.1. Квадратичная и полярная формы......Page 403
12.3.2. Эрмитова квадратичная форма......Page 404
12.3.3. Матрица квадратичной формы......Page 405
12.3.4. Матрица эрмитовой квадратичной формы......Page 406
12.3.5. Представления через скалярные произведения......Page 407
12.4. Закон инерции квадратичных форм......Page 409
12.4.1. Главные оси и канонические базисы......Page 410
12.4.2. Закон инерции квадратичных форм......Page 411
12.4.3. Общий базис пары квадратичных форм......Page 413
12.5.1. Общие свойства знакоопределенных матриц......Page 414
12.5.2. Спектральные свойства знакоопределенных матриц......Page 417
12.5.3. Сохранение знакоопределенности......Page 419
12.5.4. Матричные неравенства......Page 421
12.5.5. Квадратный корень из матрицы......Page 423
12.5.6. Приведение пары эрмитовых матриц......Page 426
12.5.7. Обобщенная проблема собственных значений......Page 428
12.6.1. Изотропные векторы......Page 429
12.6.2. Числовые области матриц......Page 430
12.6.3. Критерии изотропности......Page 432
12.6.4. Билинейно метрическое пространство......Page 434
12.6.5. Ортогональность и ортогональное дополнение......Page 435
12.6.6. Свойства матрицы и определителя Грама......Page 437
12.6.7. Нулевые подпространства......Page 439
12.6.8. Невырожденные пространство и подпространство......Page 440
12.6.9. Свойства невырожденного подпространства......Page 441
12.7.1. Ортогональный базис......Page 444
12.7.2. Псевдоортогональный базис......Page 447
12.7.3. Двойственные, псевдодвойственные и другие базисы......Page 448
12.8.1. Общий процесс псевдоортогонализации......Page 450
12.8.3. Псевдодвоиственная и двойственная ортогонализация......Page 454
12.8.4. Последовательность Крылова и минимальный многочлен......Page 457
12.8.5. Трехчленные процессы ортогонализации......Page 460
13.1.1. Расстояние и предел......Page 466
13.1.2. Окрестность и замыкание......Page 468
13.1.3. Полное пространство......Page 469
13.2.1. Норма и метрика......Page 471
13.2.2. Конкретные нормы......Page 473
13.2.4. Сходимость последовательностей......Page 476
13.2.5. Полнота нормированных пространств......Page 480
13.2.6. Свойства нормированных пространств......Page 481
13.3.1. Аддитивная и мультипликативная нормы......Page 484
13.3.2. Согласованная и подчиненная нормы......Page 486
13.3.3. Конкретные матричные нормы......Page 488
13.3.4. Евклидова и спектральная нормы......Page 490
ЧАСТЬ II. ЛИНЕАЛ — НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ......Page 492
14.3. Порядок работы с энциклопедией......Page 494
14.4. Что делать, если что-то не работает......Page 495
15.2. Что означают уровни сложности статей......Page 498
15.3. Как строятся графы связей по параграфам и главам......Page 499
15.5. Как ознакомиться с содержанием ссылок......Page 500
15.7. Как увидеть содержание статей......Page 501
15.8. Какие операции можно проводить с выборками......Page 502
15.9. Как выбрать определения из заданной совокупности статей......Page 503
15.10. Как подготовить памятные записи по лекциям......Page 504
15.11. Как установить связи конкретной статьи с другими статьями......Page 505
15.13. Что является главным в системе ЛИНЕАЛ......Page 506
16.1. Построение расширенного пополнения......Page 508
16.2. Составление цикла лекций на заданную тему......Page 509
16.3. Определение узких мест цикла лекций......Page 513
16.4. Определение ключевых точек цикла лекций......Page 515
16.5. Оператор и псевдообратная матрица......Page 517
16.6. Знакомство с первыми двумя разделами......Page 519
16.7. Вся предметная область и работа с графами......Page 521
17. Предметный указатель......Page 530
18. Список литературы......Page 544