Anhand spannender Beispiele aus dem Alltag werden die für das Studium der Mathematik erforderlichen Fertigkeiten vermittelt und ein Überblick über verschiedene Teilgebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen gegeben. Ausgehend von nur geringen Vorkenntnissen – wie sie in der Oberstufe eines Gymnasiums vermittelt werden – behandelt das Buch Themen der modernen Mathematik, die einen hohen ästhetischen und intellektuellen Reiz besitzen oder das heutige Weltbild mitprägen. Zu Ersterem gehört das Werk von M.C. Escher, dessen Parkette ausführlich analysiert werden, sowie die mathematische Theorie der Spiele in all ihren Erscheinungsformen wie strategischen Spielen und Glücksspielen. Die das Weltbild mitprägende Mathematik ist vertreten durch die Untersuchung unendlicher Mengen, die Arbeiten von Gödel und Turing über Logik und Berechenbarkeit sowie die Analyse von Chaos und Fraktalen. Ziel ist stets die Aufdeckung der zugrunde liegenden mathematischen Mechanismen. Dem ist auch ein eigenes Kapitel gewidmet, in dem Strategien zur Lösung mathematischer Aufgaben vorgestellt werden. Jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben, die am Ende des Buches vollständig gelöst werden.
Author(s): Manfred Dobrowolski
Publisher: Oldenbourg Wissenschaftsverlag
Year: 2010
Language: German
Pages: 276
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1 Etwas Logik......Page 11
1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion......Page 13
1.3 Kombinatorik......Page 17
1.4 Mächtigkeit von Mengen......Page 21
1.5 Aufgaben......Page 25
2.1 Graphen und Eulersche Polyederformel......Page 29
2.2 Die platonischen Körper......Page 32
2.3 Kombinatorische Probleme auf Graphen......Page 34
2.4 Ramsey-Zahlen......Page 39
2.5 Aufgaben......Page 42
3.1 Grundlegende Sätze der elementaren Zahlentheorie......Page 45
3.2 Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln......Page 49
3.3 Gruppen......Page 54
3.4 Restklassenkörper und der Satz von Wilson......Page 58
3.5 Geheimcodes......Page 59
3.6 Aufgaben......Page 64
4.1 Themen......Page 69
4.2 Methoden......Page 78
4.3 Psychologie......Page 82
4.4 Hilfsmittel aus der Analysis: Konvexität......Page 85
4.5 Aufgaben......Page 87
5.1 Wahrscheinlichkeit und Statistik im Alltag......Page 93
5.2 Paradoxien der Wahrscheinlichkeitsrechnung......Page 95
5.3.1 Roulette......Page 100
5.3.2 Lotto......Page 101
5.3.3 Wetten......Page 102
5.3.4 Black Jack......Page 103
5.4 Die Monte-Carlo-Methode......Page 108
5.4.1 Bestimmung des Kugelvolumens......Page 109
5.4.2 Berechnung von Finanz-Derivaten......Page 111
5.5 Aufgaben......Page 114
6 Kombinatorische Spieltheorie......Page 117
6.1 Nim......Page 118
6.2 Kombinatorische Spiele als halbgeordnete kommutative Gruppe......Page 119
6.3 Zahlenwerte des Schwarz-Weiß-Nims......Page 123
6.4 Das Kamasutra der kombinatorischen Spiele......Page 125
6.5 Neutrale Spiele......Page 128
6.6 Die Sprague-Grundy-Theorie der neutralen Spiele......Page 131
6.7 Aufgaben......Page 135
7.1 Zweipersonen-Nullsummenspiele......Page 139
7.2 Nichtnullsummen- und Mehrpersonenspiele......Page 145
7.3 Das Verhandlungsproblem......Page 148
7.4 Evolutionäre Spieltheorie......Page 150
7.5 Aufgaben......Page 152
8.1 Einführung......Page 155
8.2 Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen......Page 159
8.4 Die 28 grundlegenden Escher-Parkette......Page 164
8.5 Analyse einiger bekannter Bilder......Page 176
8.6 Parkettierungen der hyperbolischen Ebene......Page 181
8.7 Aufgaben......Page 184
9.1 Die Gödelschen Sätze......Page 187
9.2 Die Turing-Maschine......Page 192
9.3 Die Unentscheidbarkeit des Wort-Problems für Semi-Thue-Systeme......Page 199
9.4 Nichtdeterministische Turing-Maschinen und das P = NP-Problem......Page 201
9.5 Die Prädikatenlogik......Page 203
9.6 Aufgaben......Page 214
10.1 Die Cantor-Menge......Page 215
10.2 Die diskrete logistische Gleichung......Page 217
10.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen......Page 221
10.4 Hilfsmittel aus der reellen Analysis......Page 226
10.5 Komplexe Zahlen......Page 235
10.6 Aufgaben......Page 239
11.1 Weiterführende Literatur......Page 241
11.2 Lösung der Aufgaben......Page 243
Literaturverzeichnis......Page 269
Index......Page 273
