Название этой книги — вовсе не каламбур, как это может показаться на первый взгляд.Метаматематика — это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория — это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложении и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль — они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операции, соответствуют теоремам теории.
Author(s): Расёва Е., Сикорский Р.
Series: Математическая логика и основания математики, 9
Publisher: Наука
Year: 1972
Language: Russian
Pages: 594
Предисловие ......Page 9
§ 1. Множества, отображения, прямые произведения ......Page 17
§ 2. Топологические пространства ......Page 19
§ 3. Отношения эквивалентности ......Page 28
§ 4. Универсальные алгебры ......Page 30
§ 5. Упорядоченные множества ......Page 41
§ 6. Решетки ......Page 44
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения ......Page 49
§ 8. Фильтры и идеалы ......Page 57
§ 9. Дистрибутивные решетки ......Page 62
§ 10. Дополнение и псевдодополнение ......Page 66
§ 11. Относительное псевдодополнение. Разность ......Page 69
§ 12. Импликативные решетки. Псевдобулевы алгебры ......Page 73
§ 13. Фильтры в импликативных решетках ......Page 78
§ 1. Определение и элементарные свойства ......Page 83
§ 2. Подалгебры ......Page 89
§ 3. Булевы гомоморфизмы ......Page 91
§ 4. Двухэлементная булева алгебра ......Page 93
§ 5. Фильтры и идеалы ......Page 94
§ 6. Релятивизация ......Page 96
§ 7. Произведения булевых алгебр ......Page 98
§ 8. Стоуновские пространства булевых алгебр ......Page 101
§ 9. Представления, сохраняющие некоторые бесконечные объединения и пересечения ......Page 103
§ 10. Минимальные расширения булевых алгебр ......Page 106
§ 11. Канторов дисконтинуум ......Page 110
§ 1. Определение и элементарные свойства ......Page 112
§ 2. Релятивизация к главным идеалам ......Page 115
§ 3. Топологические гомоморфизмы и изоморфизмы. Внутренние отображения ......Page 117
§ 4. Расширения и вложения топологических булевых алгебр ......Page 120
§ 5. Сильно компактные пространства ......Page 122
§ 6. Метрические пространства ......Page 123
§ 7. Основная лемма о метрических, пространствах ......Page 126
§ 8. Конечные топологические булевы алгебры ......Page 131
§ 9. Прямые произведения топологических пространств ......Page 135
§ 10. Теорема о представлении для счетных топологических булевых алгебр ......Page 140
§ 11. Полные пространства ......Page 141
§ 12. Фактор-алгебры ......Page 143
§ 13. Произведения топологических булевых алгебр. Прямые объединения топологических пространств ......Page 145
§ 1. Предварительные сведения ......Page 147
§ 2. Псевдобулевы гомоморфизмы и изоморфизмы ......Page 151
§ 3. Теоремы о представлении ......Page 153
§ 4. Конечные псевдобулевы алгебры ......Page 155
§ 5. Плотные элементы ......Page 156
§ 6. Регулярные элементы ......Page 158
§ 7. Бесконечные объединения и пересечения ......Page 160
§ 8. Релятивизация ......Page 164
§ 9. Вложения и расширения псевдобулевых алгебр ......Page 165
§ 10. Счетные псевдобулевы алгебры ......Page 168
§ 11. Произведения псевдобулевых алгебр ......Page 169
§ 1. Понятие о формализованных теориях ......Page 171
§ 2. Операции над выражениями ......Page 179
§ 3. Формализованные языки элементарных математических теорий ......Page 180
§ 4. Интерпретации ......Page 188
§ 5. Интуитивное понятие о пропозициональных тавтологиях ......Page 192
§ 6. Формализованные языки пропозициональных исчислений ......Page 195
§ 7. Интуитивное понятие о предикатных тавтологиях ......Page 200
§ 8. Правила вывода ......Page 204
§ 9. Формальные доказательства ......Page 210
§ 10. Операции присоединения следствий. Формализованные дедуктивные системы и теории ......Page 212
§ 11. Общее понятие логики. Классическая логика ......Page 219
§ 12. Аксиомы равенства ......Page 222
§ 13. Примеры элементарных формализованных теорий, основанных на классической логике ......Page 224
§ 14. Некоторые основные метаматематические понятия ......Page 235
§ 15. Определения в формализованных теориях ......Page 240
§ 1. Алгебра формул ......Page 244
§ 2. Алгебра формул формализованного языка нулевого порядка. Интерпретация формул как отображений ......Page 245
§ 3. Алгебра термов. Реализации термов ......Page 250
§ 4. Алгебра и Q-алгебра формализованного языка первого порядка ......Page 255
§ 5. I-алгебра формализованного языка первого порядка ......Page 259
§ 6. Реализации формализованного языка первого порядка ......Page 262
§ 7. Канонические реализации формализованного языка первого порядка ......Page 271
§ 8. Произведения реализаций ......Page 277
§ 9. Алгебра открытых формул ......Page 281
§ 10. Алгебра формализованной теории ......Page 282
§ 11. Q-алгебра формализованной теории первого порядка ......Page 289
§ 1. Предварительные сведения ......Page 295
§ 2. Полнота пропозициональных исчислений ......Page 298
§ 3. Примеры пропозициональных тавтологий ......Page 299
§ 4. Алгебра двузначного пропозиционального исчисления ......Page 301
§ 5. Нормальные формы ......Page 302
§ 6. Диаграммы формул ......Page 304
§ 7. Непротиворечивость и существование моделей ......Page 310
§ 8. Теоремы о дедукции ......Page 313
§ 9. Связь между теориями и фильтрами ......Page 314
§ 10. Максимальные и простые теории ......Page 317
§ 11. Проблемы эффективности ......Page 318
§ 1. Предварительные сведения ......Page 321
§ 2. Модели ......Page 324
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость и существование моделей ......Page 329
§ 4. Семантические модели ......Page 332
§ 5. Существование счетных семантических моделей для счетных теорий ......Page 336
§ 6. Полнота предикатных исчислений. Примеры тавтологий ......Page 339
§ 7. Диаграммы формул ......Page 345
§ 8. Богатые теории ......Page 353
§ 9. Существование семантических моделей для произвольных непротиворечивых теорий ......Page 357
§ 10. Теоремы о дедукции ......Page 361
§ 11. Связь между теориями и фильтрами ......Page 362
§ 12. Максимальные и простые теории ......Page 366
§ 14. Несущественность определений ......Page 374
§ 15. Открытые теории ......Page 377
§ 16. Предваренная форма ......Page 381
§ 17. Элиминация кванторов из аксиом теории ......Page 385
§ 18. Произведения семантических реализаций по модулю простого фильтра ......Page 390
§ 19. Мощности моделей ......Page 393
§ 20. Несчетная арифметика и счетная теория множеств ......Page 402
§ 21. Проблемы эффективности ......Page 407
§ 22. Канонические семантические модели. Проблемы представления для Q-алгебр теорий ......Page 408
§ 23. Топологическая характеристика открытых теорий ......Page 416
§ 24. Алгебра двузначного предикатного исчисления ......Page 420
§ 25. Теорема о дедукции для открытых теорий ......Page 423
§ 26. Эрбрановы дизъюнкции ......Page 424
§ 1. Введение ......Page 433
§ 2. Предварительные сведения ......Page 438
§ 3. Теорема о полноте ......Page 443
§ 4. Примеры интуиционистских пропозициональных тавтологий ......Page 446
§ 5. Связь между тавтологиями и интуиционистскими тавтологиями ......Page 448
§ 6. Теорема об интуиционистски доказуемых дизъюнкциях ......Page 453
§ 7. Алгебра интуиционистского пропозиционального исчисления ......Page 454
§ 8. Непротиворечивость и существование моделей ......Page 456
§ 9. Теоремы о дедукции ......Page 458
§ 10. Связь между теориями и фильтрами ......Page 460
§ 11. Максимальные теории ......Page 462
§ 12. Простые теории ......Page 463
§ 13. Связь между классическими и интуиционистскими теориями ......Page 468
§ 1. Предварительные сведения ......Page 472
§ 2. Модели ......Page 475
§ 3. Канонические модели. Непротиворечивость и существование моделей ......Page 480
§ 4. Полнота интуиционистских предикатных исчислений ......Page 484
§ 5. Алгебра интуиционистского предикатного исчисления ......Page 486
§ 6. Примеры интуиционистских тавтологий ......Page 487
§ 7. Связь между тавтологиями и интуиционистскими тавтологиями ......Page 492
§ 8. Теоремы об интуиционистски доказуемых дизъюнкциях и экзистенциальных формулах ......Page 494
§ 9. Теоремы о дедукции ......Page 496
§ 10. Связь между теориями и фильтрами ......Page 497
§ 11. Максимальные теории ......Page 501
§ 12. Простые теории ......Page 504
§ 13. Конструктивные теории ......Page 505
§ 14. Устранение начальных кванторов в формулах U-теории ......Page 512
§ 15. Теории со знаком равенства ......Page 513
§ 16. Открытые интуиционистские теории ......Page 516
§ 17. Теорема 6 дедукции для открытых интуиционистских теорий ......Page 520
§ 18. Теорема о расширении топологических реализаций ......Page 521
§ 19. Элиминация начальных кванторов из аксиом интуиционистской теории ......Page 523
§ 1. Введение ......Page 529
§ 2. Позитивная логика ......Page 530
§ 3. Позитивные теории нулевого порядка ......Page 533
§ 4. Позитивное пропозициональное исчисление ......Page 535
§ 5. Позитивные теории первого порядка ......Page 536
§ 6. Позитивное предикатное исчисление ......Page 538
§ 7. Модальная логика ......Page 539
§ 8. Модальные теории нулевого порядка ......Page 544
§ 9. Модальное пропозициональное исчисление ......Page 548
§ 10. Модальные теории первого порядка ......Page 552
§ 11. Модальное предикатное исчисление ......Page 558
Примечания переводчика ......Page 561
Библиография ......Page 568
Список символов ......Page 579
Именной указатель ......Page 581
Предметный указатель ......Page 583
Обложка ......Page 593
Суперобложка ......Page 594
