Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления рассмотрены прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам. На примерах из физики, механики и техники показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач.
Для студентов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области
прикладной математики и математического моделирования.
Author(s): Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н.
Series: (Математика в техническом университете; вып. 15
Edition: 4-е изд., испр. и доп.
Publisher: МГТУ
Year: 2018
Language: Russian
Pages: 486
City: Москва
Предисловие ......Page 3
Основные обозначения ......Page 7
ЧАСТЬ I. Классическое вариационное исчисление ......Page 11
1.1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам ......Page 13
1.2. Основные определения ......Page 19
1.3. Основные леммы вариационного исчисления ......Page 31
1.4. Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления ......Page 35
Вопросы и задачи ......Page 38
2.1. Простейшая задача вариационного исчисления ......Page 40
2.2. Функционалы от нескольких функций ......Page 50
2.3. Функционалы с производными высшего порядка ......Page 52
2.4. Функционалы от функций многих переменных ......Page 55
2.5. Канонический вид уравнений Эйлера ......Page 57
2.6. Инвариантность формы представления уравнения Эйлера ......Page 60
2.7. Простейшая задача в параметрической форме ......Page 65
2.8. Принцип Гамильтона. Интеграл энергии ......Page 75
Вопросы и задачи ......Page 78
3.1. Задачас подвижными концами ......Page 84
3.2. Задача с подвижными границами ......Page 88
3.3. Экстремали с угловыми точками ......Page 94
3.4. Задачас подвижными границами в пространстве ......Page 101
3.5. Задачи с односторонними вариациями ......Page 107
Вопросы и задачи ......Page 113
4.1. Основные типы задач на условный экстремум ......Page 117
4.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа ......Page 119
4.3. Необходимые условия в изопериметрической задаче ......Page 125
4.4. Примеры задач на условный экстремум ......Page 128
4.5. Принцип взаимности в изопериметрических задачах ......Page 131
4.6. Задача Больца и задача Майера ......Page 132
Вопросы и задачи ......Page 137
5.1. Слабый экстремум ......Page 140
5.2. Условие Якоби ......Page 151
5.3. Инвариантный интеграл Гильберта ......Page 153
5.4. Сильный экстремум ......Page 156
Вопросы и задачи ......Page 160
ЧАСТЬ II. Оптимальное управление ......Page 163
6.1. Постановка задач оптимального управления ......Page 165
6.2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина ......Page 179
6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении ......Page 187
6.4. Линейные задачи оптимального управления ......Page 194
6.5. Обсуждение методов вариационного исчисления ......Page 198
Вопросы и задачи ......Page 205
7. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ......Page 206
7.1. Автономная система управления. Формулировка принципа максимума ......Page 207
7.2. Обсуждение принципа максимума ......Page 214
7.3. Задача быстродействия ......Page 219
7.4. Линейная задача оптимального быстродействия ......Page 229
7.5. Задача синтеза управления ......Page 242
7.6. Задача с подвижными концами ......Page 250
7.7. Неавтономные системы ......Page 254
7.8. Понятие особого управления ......Page 263
Вопросы и задачи ......Page 270
8.1. Принцип оптимальности ......Page 273
8.2. Уравнение Беллмана ......Page 281
8.3. Уравнение Беллмана в задаче быстродействия ......Page 292
8.4. Связь метода динамического программирования с принципом максимума ......Page 297
8.5. Оптимальная стабилизация ......Page 300
Вопросы и задачи ......Page 304
ЧАСТЬ III. Прямые методы вариационного исчисления ......Page 305
9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ......Page 307
9.1. Операторное уравнение ......Page 308
9.2. Вариационное уравнение ......Page 320
9.3. Примеры построения функционала по вариационному уравнению ......Page 324
9.4. Исследование выпуклости функционала ......Page 333
Вопросы и задачи ......Page 340
10.1. Минимизирующие последовательности ......Page 342
10.2. Методы приближенного решения вариационных задач ......Page 349
10.3. Собственные значения симметрического оператора ......Page 357
10.4. Приближенное решение задачи на собственные значения ......Page 364
Вопросы и задачи ......Page 369
11.1. Альтернативные функционалы ......Page 370
11.2. Построение альтернативного функционала ......Page 373
11.3. Оценка погрешности приближенного решения ......Page 379
Вопросы и задачи ......Page 385
ЧАСТЬ IV. Приложения вариационных методов ......Page 387
12. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА ......Page 389
13. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ ......Page 394
14. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ ......Page 397
15. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ......Page 402
16. ЗАДАЧА ЧАПЛЫГИНА ......Page 407
17. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА ......Page 410
18.1. Действие потенциальной силы ......Page 425
18.2. Действие следящей силы ......Page 434
18.3. Динамический подход ......Page 436
19. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЖА, РЕИССНЕРА ИКАСТИЛЬЯНО ......Page 442
20. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕРМОУПРУГОСТИ ......Page 457
21. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ......Page 465
Рекомендуемая литература ......Page 474
Предметный указатель ......Page 480
