Красноярск: СФУ, 2007 г. - 235 стр.Данное пособие представляет собой курс лекций по математического анализа, предназначенный для студентов естественно-научных факультетов университетов и читаемый в первом семестре. Курс математического анализа состоит из двух модулей.
В первом модуле (введение в анализ) рассматриваются элементы теории множеств, натуральные, целые, рациональные, вещественные числа, понятие функции и ее графика, изучаются пределы числовых последовательностей и функций, понятие непрерывности функции.
Во втором модуле (дифференциальное исчисление функций одного переменного) вводятся понятия производной, неопределенного интеграла и связей между ними. Рассматриваются приложения изученных понятий к исследованию функций, построению их графиков и т.д.
В дополнение вынесен материал п окомплексным числам,многочленам и рацииональным функциям, рядам и приложениям дифференциального исчисления в физических вопросах, предназначенный для самостоятельного изучения и не являющийся обязательным.
В конце пособия приведены варианты письменных экзаменационных работ (с решениями), которые давались в первом семестре.Содержание:
Элементы теории множеств
Натуральные числа, индукция, бином Ньютона
Аксиоматика множества вещественных чисел
Ограниченные множества. Теорема о верхней грани. Принцип Архимеда
Три принципа математического анализа: принцип Кантора о вложенных отрезках, принцип Больцано-Вейерштрасса, принцип Бореля-Лебега о покрытии
Понятие функции. График функции. Обзор элементарных функций
Последовательности. Предел последовательности и его свойства
Теоремы о существовании предела последовательности: критерий Коши, теорема
Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности
Подпоследовательности. Частичный пре-дел последовательности. Верхний и нижний пределы
Предел функции
Теоремы о пределе функции
Непрерывность функции. Локальные свойства непрерывных функций
Точки разрыва. Разрывы монотонной функции
Глобальные свойства непрерывных функций: теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях, заданных на отрезке, теорема Больцано-Коши о промежуточном значении. Равномерная непрерывность
Асимптотическое поведение функций. O-символика
Производная и дифференцируемость функции
Касательная. Геометрический смысл производной
Производные суммы, произведения и частного двух функций
Производные сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Производные и дифференциалы высших порядков
Теорема Ферма. Теорема Ролля
Теорема Лагранжа. Теорема Коши
Правило Лопиталя
Формула Тейлора
Формулы Тейлора для элементарных функций
Условия монотонности функций
Достаточные условия экстремума функции
Условия выпуклости функции
Асимптоты. Исследование и построение графика функции
Неопределенный интеграл и его свойства
Основные методы интегрирования
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование трансцендентных функций
Интегрирование различных классов функций
