Topologia (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Copertina......Page 1
Frontespizio......Page 3
Copyright......Page 4
Prefazione......Page 5
Indice......Page 8
1.1 Una gita in bicicletta per le strade di Roma......Page 12
1.2 Sartoria topologica......Page 16
1.3 La nozione di continuità......Page 17
1.4 Omeomorfismi......Page 22
1.5 Informazioni senza dimostrazioni......Page 28
2.1 Notazioni e riscaldamento......Page 30
2.3 Cardinalità......Page 34
2.4 L’assioma della scelta......Page 38
2.5 Il lemma di Zorn......Page 41
2.6 La cardinalità del prodotto......Page 45
3 Strutture topologiche......Page 48
3.1 Spazi topologici......Page 49
3.2 Parte interna, chiusura ed intorni......Page 52
3.3 Applicazioni continue......Page 55
3.4 Spazi metrici......Page 58
3.5 Sottospazi ed immersioni......Page 64
3.6 Prodotti topologici......Page 66
3.7 Spazi di Hausdorff......Page 68
4 Connessione e compattezza......Page 72
4.1 Connessione......Page 73
4.2 Componenti connesse......Page 78
4.3 Ricoprimenti......Page 80
4.4 Spazi topologici compatti......Page 82
4.5 Il teorema di Wallace......Page 86
4.6 Gruppi topologici......Page 88
4.7 Esaustioni in compatti......Page 92
5.1 Identificazioni......Page 96
5.2 Topologia quoziente......Page 98
5.3 Quozienti per gruppi di omeomorfismi......Page 100
5.4 Gli spazi proiettivi......Page 103
5.5 Spazi localmente compatti......Page 106
5.6 Il teorema fondamentale dell’algebra......Page 108
6.1 Proprietà di numerabilità......Page 112
6.2 Successioni......Page 116
6.3 Successioni di Cauchy......Page 119
6.4 Spazi metrici compatti......Page 122
6.5 Il teorema di Baire......Page 125
6.6 Completamenti......Page 128
6.7 Spazi di funzioni e teorema di Ascoli-Arzelà......Page 131
6.8 Insiemi diretti, reti e successioni generalizzate......Page 134
7.1 Varietà topologiche......Page 138
7.2 Prebasi e teorema di Alexander......Page 139
7.3 Prodotti infiniti......Page 141
7.4 Raffinamenti e paracompattezza......Page 144
7.5 Spazi normali......Page 148
7.6 Proprietà di separazione......Page 149
8.1 Il paradosso di Russell......Page 152
8.2 Dimostrazione del lemma di Zorn......Page 153
8.3 Il teorema di Zermelo......Page 156
8.4 Ultrafiltri......Page 159
8.5 La topologia compatta-aperta......Page 161
8.6 Spazi topologici Noetheriani......Page 164
8.7 Un lungo esercizio: il teorema di estensione di Tietze......Page 167
9.1 Gli alberi......Page 170
9.2 Polimattoncini e numeri di Betti......Page 171
9.3 Che cos’è la topologia algebrica......Page 173
10.1 Spazi localmente connessi e funtore π₀......Page 174
10.2 Omotopia......Page 178
10.3 Retrazioni e deformazioni......Page 181
10.4 Categorie e funtori......Page 184
10.5 Una digressione......Page 188
11.1 Omotopia di cammini......Page 190
11.2 Il gruppo fondamentale......Page 195
11.3 Il funtore π₁......Page 198
11.4 Semplice connessione di Sⁿ (n ≥ 2)......Page 201
11.5 Monoidi topologici......Page 205
12.1 Omeomorfismi locali......Page 208
12.2 Rivestimenti......Page 209
12.3 Quozienti per azioni propriamente discontinue......Page 213
12.4 Parliamo un po’ di sezioni......Page 215
12.5 Sollevamento dell’omotopia......Page 217
12.6 I teoremi di Brouwer e Borsuk......Page 221
12.7 Un esempio di gruppo fondamentale non abeliano......Page 225
13.1 Monodromia del rivestimento......Page 226
13.2 Azioni di gruppi su insiemi......Page 228
13.3 Un teorema di isomorfismo......Page 231
13.4 Sollevamento di applicazioni qualsiasi......Page 234
13.5 Rivestimenti regolari......Page 236
13.6 Rivestimenti universali......Page 239
13.7 Rivestimenti con monodromia assegnata......Page 243
14.1 Van Kampen in versione universale......Page 246
14.2 Gruppi liberi......Page 250
14.3 Prodotti liberi di gruppi......Page 253
14.4 Prodotti liberi e teorema di Van Kampen......Page 255
14.5 Attaccamenti e grafi topologici......Page 259
14.6 Attaccamenti di celle......Page 262
15.1 Gruppoidi, trasformazioni naturali ed equivalenza di categorie......Page 266
15.2 Automorfismi interni ed esterni......Page 269
15.3 Insieme di Cantor e curve di Peano......Page 271
15.4 Topologia di SO(3, ℝ)......Page 273
15.5 La sfera impettinabile......Page 277
15.6 Funzioni polinomiali complesse......Page 278
15.7 La dimostrazione di Grothendieck del teorema di Van Kampen......Page 279
15.8 Un lungo esercizio: il teorema di Poincaré-Volterra......Page 282
Capitolo 1......Page 284
Capitolo 2......Page 285
Capitolo 3......Page 286
Capitolo 4......Page 289
Capitolo 5......Page 290
Capitolo 6......Page 291
Capitolo 7......Page 293
Capitolo 10......Page 295
Capitolo 11......Page 296
Capitolo 13......Page 298
Capitolo 15......Page 300
Riferimenti bibliografici......Page 302
Indice analitico......Page 304