Ce livre, en deux tomes, est une introduction à la topologie algébrique et plus particulièrement à la théorie de l'homologie.
Celle-ci associe à chaque espace topologique un module dont les propriétés algébriques reflètent celles de l'espace considéré. Nous l'appliquons principalement à l'étude des variétés, qui interviennent de manière fondamentale tant en mathématiques qu'en physique. Nous discutons de manière détaillée les divers concepts de dimension et d'orientation des variétés et établissons les résultats fondamentaux que sont les dualités de Poincaré et de Lefschetz.
Le dernier chapitre du Tome II contient un panorama des résultats spectaculaires obtenus depuis les années soixante du siècle dernier concernant les variétés. Nous donnons dans les deux premiers chapitres du Tome I des compléments aux notions de base de la topologie générale et de la théorie des modules. Nous introduisons les homologies simpliciale et singulière, déterminons les modules d'homologie de nombreux espaces tels que les sphères, les surfaces et les espaces projectifs, et démontrons quelques théorèmes classiques de topologie comme ceux de Jordan et de Brouwer.
Cet ouvrage sera utile pour un cours de niveaux master et doctorat ainsi que pour une étude individuelle de ces matières, y compris par des mathématiciens plus confirmés dont la topologie algébrique n'est pas le sujet principal de recherche.
Author(s): Alain Jeanneret, Daniel Lines
Publisher: Cépaduès Éditions
Year: 2014
Language: French
Pages: 300
Avant-propos
1 Compléments de topologie
1.1 Topologie générale
1.2 Quelques espaces topologiques
1.3 Quelques homéomorphismes
1.4 Topologie quotient et recollements
1.5 Actions de groupes
1.6 Homotopie
1.7 Groupe fondamental
1.8 Revêtements
1.9 Variétés topologiques
1.10 Espaces projectifs
1.11 Surfaces
1.12 Exercices
2 Compléments d’algèbre
2.1 Produit libre de groupes
2.2 Modules
2.3 Module des homomorphismes
2.4 Applications bilinéaires
2.5 Produit tensoriel
2.6 Extension des coefficients et adjonction
2.7 Catégories et foncteurs
2.8 Exercices
Première partie : Homologie
3 Complexes simpliciaux
3.1 Définition des complexes simpliciaux
3.2 Topologie des complexes simpliciaux
3.3 Subdivisions
3.4 Exercices
4 Homologie simpliciale
4.1 Définition de l’homologie simpliciale
4.2 La Question de l’invariance topologique de l’homologie simpliciale
4.3 Exercices
5 Complexes de chaînes algébriques I
5.1 Suite exacte longue en homologie
5.2 Complexes de chaînes augmentés
5.3 Exercices
6 Propriétés de l’homologie simpliciale
6.1 Suite de Mayer-Vietoris
6.2 Suite exacte longue d’une paire et d’un triple
6.3 Excision
6.4 Exercices
7 Homologie singulière
7.1 Définition de l’homologie singulière
7.2 Groupe fondamental et premier groupe d’homologie singulière
7.3 Homologie singulière relative
7.4 Exercices
8 Invariance homotopique de l’homologie singulière
8.1 Modèles acycliques
8.2 Invariance d’homotopie
9 Méthodes de calcul des groupes d’homologie singulière
9.1 Excision
9.2 Suite de Mayer-Vietoris
9.3 Attachement de cellules
9.4 Exercices
10 Applications de l’homologie
10.1 Théorèmes de Brouwer et de Jordan
10.2 Degrés des applications entre sphères
10.3 Homologie locale
10.4 Exercices
11 Homologie des polyèdres
11.1 Complexes simpliciaux et homologie singulière
11.2 Approximations simpliciales
11.3 Polyèdres
11.4 Exercices
12 Complexes de chaînes algébriques II
12.1 Produit tensoriel de complexes de chaînes
12.2 Résolutions
12.3 Théorème de Künneth, cas algébrique
12.4 Extension des coefficients
12.5 Exercices
13 Homologie à coefficients
13.1 Définitions
13.2 Propriétés de l’homologie singulière et simpliciale à coefficients
13.3 Coefficients universels, cas topologique
13.4 Caractéristique d’Euler et nombre de Lefschetz
13.5 Exercices
14 Homologie d’un produit d’espaces
14.1 Le Cas absolu
14.2 Le Cas relatif
Supplément à la première partie
Bibliographie du Tome I
Index du Tome I
