Calcul différentiel : Cours et exercices corrigés

Le Calcul différentiel a été créé par sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, dans la seconde moitié du XVII-ème siècle. Très vite, il s'est imposé comme une avancée majeure des Mathématiques et même, plus généralement, de la Science. Newton lui-même l'utilise, vers 1680, pour expliquer le mouvement des planètes. Avec le développement des théories des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, le Calcul différentiel est rapidement devenu l'outil essentiel pour la formulation mathématique de nombreuses , théories physiques, dans les domaines les plus divers : Mécanique, Electromagnétisme, Thermodynamique, Optique, . . . . La place de choix qu'occupe le Calcul différentiel dans les enseignements de deuxième cycle de Mathématiques est donc pleinement justifiée. Le présent ouvrage traite du Calcul différentiel dans des espaces vectoriels normés, pas nécessairement de dimension finie, ou dans les espaces affines qui leur sont associés. Nous pensons en effet que traiter le Calcul différentiel uniquement dans les espaces}Rn serait une erreur, malheureusement assez commune dans certains enseignements universitaires: une telle limitation masque la nature essentiellement géométrique de la notion de différentielle et conduit à traiter le sujet de manière calculatoire, peu propice à l'appréhension des idées, sans pour autant permettre de notable simplification. Mais conformément aux caractères généraux de la présente collection, nous introduisons toutes les notions abstraites de manière simple et progressive, et nous les illustrons par des exemples, e.n particulier dans les nombreux exercices, qui tous sont résolus. Nous supposons le lecteur familiarisé avec les notions de base de la Topologie et les propriétés élémentaires des espaces vectoriels normés, exposées par exemple dans le volume Topologie des mêmes auteurs, dans la même collection. Nous renvoyons à cet ouvrage par des références telles que [T.VIII.3.8], qui renvoie au sous-paragraphe 3.8 du chapitre VIII du livre Topologie (théorème d'Ascoli).