Теория групп

Предисловие к третьему изданию 9
Из введения к первому изданию 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава первая. Определение группы 15
§ 1. Алгебраическая операция 15
§ 2. Изоморфизм. Гомоморфизм 19
§ 3. Группа 22
§ За.Аксиоматика Бэра и Леви 27
§ 4. Примеры групп 33
Глава вторая. Подгруппы 37
§ 5. Подгруппы 37
§ 6. Системы образующих. Циклические группы 40
§ 7. Возрастающие последовательности групп 45
Глава третья. Нормальные делители 50
§ 8. Разложения группы по подгруппе 50
§ 9. Нормальный делитель 54
§ 10. Связь нормальных делителей с гомоморфизмами и фактор-группами 60
§ 11. Классы сопряженных элементов и сопряженных подгрупп .... 66
§ 11а.Группы подстановок 71
§ 116.Основные понятия теории колец 74
Глава четвертая. Эндоморфизмы и автоморфизмы. Группы с операторами 77
§ 12. Эндоморфизмы и автоморфизмы 77
§ 13. Голоморф. Совершенные группы 80
§ 14. Характеристические и вполне характеристические подгруппы . . 84
§ 15. Группы с операторами 90
Глава пятая. Ряды подгрупп. Прямые произведения. Определяющие соот-
ношения ' 95
§ 16. Нормальные и композиционные ряды 95
§ 17. Прямые произведения 100
§ 18. Свободные группы. Определяющие соотношения 106
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Глава шестая. Основы теории абелевых групп 114
§ 19. Ранг абелевой группы. Свободные абелевы группы 114
§ 20. Абелевы группы с конечным числом образующих 120
§ 21. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы 125
§ 22. Абелевы группы с операторами 130
§ 22а.Теория Тейхмюллера 133
Глава седьмая. Примерные и смешанные абелевы группы 138
§ 23. Полные абелевы группы 138
§ 24. Прямые суммы циклических групп 143
§ 25. Сервантные подгруппы 148
§ 26. Примерные группы без элементов бесконечной высоты 153
§ 27. Ульмовские факторы. Теорема существования 158
§ 28. Теорема Ульма 163
§ 29. Смешанные абелевы группы 171
Глава восьмая. Абелевы группы без кручения 175
§30. Группы ранга 1. Типы элементов группы без кручения 175
§ 31. Вполне разложимые группы 179
§ 32. Другие классы абелевых групп без кручения 184
§ 32а.Поле р-адических чисел 187
§ 326.Группы конечного ранга без кручения 193
§ 32в. Дополнения и приложения результатов предшествующего параграфа 199
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Глава девятая. Свободные произведения и свободные группы 204
§ 33. Определение свободного произведения 204
§ 34. Подгруппы свободного произведения 211
§ 35. Изоморфизм свободных разложений. Свободные произведения
с объединенной подгруппой 219
§ 36. Подгруппы свободных групп 225
§ 37. Вполне характеристические подгруппы свободных групп. Тожде-
ственные соотношения 233
§ 37а.Локально свободные группы 239
Глава десятая. Группы с конечным числом образующих 245
§ 38. Общие свойства групп с конечным числом образующих 245
§ 39. Теорема Грушко 251
§ 40. Теорема Грушко (окончание) 255
§ 41. Группы с конечным числом определяющих соотношений .... 261
Глава одиннадцатая. Прямые произведения. Структуры 267
§ 42. Предварительные замечания 267
§ 43. Структуры 271
§ 44. Дедекиндовы и вполне дедекиндовы структуры 276
§ 45. Прямые суммы во вполне дедекиндовых структурах 282
§ 46. Вспомогательные леммы 289
§ 47. Основная теорема 295
§ 47а.Прямое доказательство теоремы Шмидта. Некоторые другие теоремы 299
§ 476.Группы с изоморфными структурами подгрупп 307
Глава двенадцатая. Расширения групп 315
§ 48. Системы факторов 315
§ 49. Расширения абелевых групп. Группы гомологии 319
§ 50. Вычисление второй группы гомологии 323
§ 51. Расширения некоммутативных групп 328
§ 52. Частные случаи 334
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Глава тринадцатая. Условия конечности, силовские подгруппы и
смежные вопросы 337
§ 53. Условия конечности 337
§ 54. Силовские подгруппы. Центры р-групп 342
§ 55. Локальные свойства 350
§ 56. Нормальные и инвариантные системы 354
Глава четырнадцатая. Разрешимые группы 361
§ 57. Разрешимые и обобщенные разрешимые группы 361
§ 58. Локальные теоремы. Локально разрешимые группы 364
§ 59. Наложение условий конечности 369
§ 60. Силовские П-подгруппы разрешимых групп 373
§ 61. Конечные полупростые группы 379
Глава пятнадцатая. Нильпотентные группы 386
§ 62. Нильпотентные и конечные нильпотентные группы 386
§ 63. Обобщенные нильпотентные группы 391
§ 64. Связи с разрешимыми группами. 5-группы. Наложение условий
конечности , 398
§ 65. Полные нильпотентные группы 403
§ 66. Группы с однозначным извлечением корня 410
§ 67. Локально нильпотентные группы без кручения 414
Заключение к первому изданию 423
ДОПОЛНЕНИЕ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП
ЗА 1952—1965 гг.
Предисловие 433
Часть первая. Основы теории групп 434
§ Д.1. Группы, подгруппы 434
1. Определение группы D34). 2. Подгруппы D35). 3. Системы обра-
зующих. Циклические группы D36).
§ Д.2. Гомоморфизмы. Нормальные делители 437
1. Гомоморфизмы D37). 2. Прямые и обратные спектры D37). 3. Раз-
ложения группы по подгруппе D39). 4. Простые группы D39). 5. Нормаль-
ные ряды D39). 6. Достижимые подгруппы D39).
§ Д.З. Автоморфизмы. Характеристические подгруппы 440
1. Эндоморфизмы и автоморфизмы D40). 2. Голоморф. Совер-
шенные группы D41). 3. Некоторые характеристические подгруппы D42).
4. Вербальные и маргинальные подгруппы; гиперхарактеристические
и ультрахарактеристические подгруппы D43). 5. Обобщенные эндоморфиз-
мы и автоморфизмы D44). 6. Связка соответствий, почти-кольцо преоб-
разований D45).
§ Д.4. Группы с мультиоператорами 447
1. Группы с полугруппой и с группой операторов D47). 2. Мульти-
операторные группы D47). 3. Простейшие свойства мультиоператорных
групп D48). 4. Идеалы D48). 5. Взаимный коммутант D49).
Часть вторая. Теоретико-групповые конструкции 450
§ Д.5. Прямые произведения 450
1. Простейшие свойства D50). 2. Существование общего продолжения
D51). 3. Изоморфизмы прямых разложений D52). 4. Теория Бэра D52).
5. Другие теоремы об изоморфизмах прямых разложений D54).
§ Д.6. Полные прямые и подпрямые произведения 455
1. Полные прямые произведения D55). 2. Подпрямые произведения
D57).
§ Д.7. Свободные произведения 458
1. Теорема о подгруппах D58). 2. Другие свойства свободных про-
изведений D58). 3. Связь прямых и свободных произведений D59). 4. Пол-
ные свободные произведении D60). 5. Случай операторных и мультиопе-
раторных групп D60).
§ Д.8. Амальгамы групп 461
1. Свободные произведения с объединенной подгруппой D61). 2. Вло-
жения амальгам в группы D62).
§ Д.9. Свободные группы 464
1. Подгруппы свободных групп D64). 2. Нормальные делители сво-
бодных групп D65). 3. Примитивные элементы D66). 4. Автоморфизмы и
эндоморфизмы свободных групп D66). 5. Уравнения в свободных груп-
пах D67). 6. Обобщения свободных групп D67).
§ Д.10. Многообразия и их свободные группы 468
1. Многообразия групп D68). 2. Свободные группы многообразий
D69). 3. Структура многообразий D70). 4. Полугруппа многообразий
D71). 5. Многообразия, порождаемые конечной группой D71). 6. Даль-
нейшее изучение свободных групп многообразий D72).
§ Д. 11. Точные операции в классе групп 474
1. Точные операции D74). 2. Основные постулаты D74). 3. Правиль-
ные операции D76). 4. Вербальные произведения D76). 5. Некоторые
свойства нильпотентных и разрешимых произведений D77). 6. Поливер-
бальные операции D78). 7. Некоторые другие операции D79). 8. Обоб-
щения D80).
§ Д.12. Расширения. Сплетения 480
1. Расширения D80). 2. Подобие расширений D81). 3. Сплетения
D82). 4. Некоторые свойства стандартных сплетений D83).
§ Д.13. Некоторые другие конструкции 484
1. Полупрямые произведения D84). 2. Общие произведения D84).
3. Косые произведения D86). 4. Факторизации D86). 5. Факторизации
в смысле Хайоша D88). 6. Цепные произведения D88).
§ Д. 14. Структуры подгрупп, структурные изоморфизмы 488
1. Постановка задач D88). 2. Группы, структуры подгрупп кото-
рых обладают некоторыми заданными свойствами D89). 3. Структурные
изоморфизмы D90). 4. Структурные изоморфизмы абелевых и нильпотент-
ных групп D90). 5. Группы с дуальными структурами подгрупп D91).
6. Некоторые другие структуры, связанные с группой D91).
Часть третья. Некоторые классы групп : . 493
§ Д.15. Конечнопорожденные и конечноопределенные группы 493
1. Конечнопорожденные группы D93). 2. Конечноопределенные
группы D94). 3. Подгруппы конечноопределенных групп D95). 4. Алгорит-
мические исследования D96).
§ Д.16. Периодические группы 497
1. Проблема Бернсайда о периодических группах D97). 2. Огра-
ниченная проблема Бернсайда D97). 3. Изучение бернсайдовых групп
D98). 4. Ослабленная проблема Бернсайда D98). 5. Локально конечные
группы D99). 6. Универсальная счетная локально конечная группа E00).
7. Локально нормальные группы E00). 8. Дисперсивные группы E00).
§ Д. 17. Группы с другими условиями конечности 501
1. Вступление E01). 2. Группы с условием минимальности для
подгрупп E01). 3. Группы с условием минимальности для нормальных
делителей E01). 4. Другие условия минимальности E02). 5. Н ётеровы груп-
пы E03). 6. Группы с конечными классами сопряженных элементов E03).
7. Частные типы FC-rpynn E05). 8. Группы с конечным числом классов
сопряженных элементов E05). 9. Финитно аппроксимируемые группы
E06).
§ Д. 18. Силовские подгруппы; р-группы 507
1. Силовские р-подгруппы E07). 2. Силовские П-подгруппы E08).
3. Силовские и холловские базы E09). 4. Регулярные р-группы E10).
§ Д. 19. Группы без кручения. Полные группы. Покрытия 510
1. П-полные группы, Ш?- и ПД-группы E10). 2. Свободные IID-груп-
пы E11). 3. Другие результаты о полных группах E12). 4. Пополнения
E12). 5. Уравнения в группах E13). 6. Покрытия E14). 7. Расщепления
E14).
§ Д.20. Радикалы 515
1. Радикалы в классе всех групп E15) 2. Минимальный радикаль-
ный класс над данным классом групп E17). 3. Минимальный полупростой
класс над данным классом групп E17). 4. Некоторые примеры E18). 5. Ра-
дикалы в данном классе групп E19). 6. Другие подходы к понятию ради-
кала E19).
§ Д.21. Свойства классов групп 520
1. Общие замечания E20). 2. Простейшие свойства E20). 3. Исследо-
вания Бэра E21). 4. Функционалы, теоретико-групповые функции E22).
5. Еще одна схема нильпотентности и разрешимости E23).
§ Д.22. Группы автоморфизмов, групповые пары 523
1. Групповые пары E23). 2. Категория групповых пар E24). 3. Ста-
бильные группы автоморфизмов E25). 4. Г-центральные ряды E26). 5. Не-
которые подгруппы группы автоморфизмов E26). 6. Треугольные группы
автоморфизмов E27)
Часть четвертая. Разрешимые и нильпотентные группы 528
§ Д.23. Обобщенные разрешимые группы 528
1. Некоторые общие свойства E28). 2. Локально разрешимые груп-
пы E29). 3. Группы, радикальные в смысле Плоткина E30). 4. RN*- и
7?/*-грушш E30). 5. Возрастающие ряды коммутантов E31).
§ Д.24. Разрешимые группы 531
1. Разрешимые ^[-группы E31). 2. Группы автоморфизмов разре-
шимых ^4;-групп E32). 3. Другие свойства нётеровых разрешимых групп
E32). 4. Двуступенно разрешимые группы E33). 5. Свободные разреши-
мые группы E34). 6. Полинильпотентные группы E35). 7. Некоторые обоб-
щения E36).
§ Д.25. Обобщенные нильпотентные группы 536
1. Локально нильпотентные группы E36). 2. Локально нильпотент-
ные группы без кручения E37). 3. Группы с нормализаторным условием
E38). 4. Z^-группы E38). 5. ZD-группы E39). 6. Длины нижних и верх-
них центральных рядов E40). 7. Z-группы E40).
§ Д.26. Энгелевы группы 540
1. Энгелевы группы, энгелевы элементы E40). 2. Связи энгелевости
с нильпотентностью E41). 3. Энгелевы элементы и локально нильпотентный
радикал E41). 4. Энгелевы и субинвариантные элементы E42). 5. Квази-
нильпотентные группы, нильгруппы E43). 6. Обобщения E44).
§ Д.27. Нильпотентные группы 544
1. Некоторые отдельные результаты E44). 2. Конечнопорожденные
нильпотентные группы E45). 3. Свободные нильпотентные группы E46).
4. Подгруппа Фраттини E47). 5. Нильпотентность подгруппы Фратти-
ни E48).
Часть пятая. Абелевы группы 549
§ Д.28. Основы теории абелевых групп . 549
1. Введение E49). 2. Прямые суммы циклических групп E49). 3. Абе-
левы группы, близкие к прямым суммам циклических групп E51). 4. Пол-
ные абелевы группы E51). 5. Вполне разложимые группы E52). 6. Систе-
мы образующих E53).
§ Д.29. Прямые слагаемые. Сервантные и высокие подгруппы 553
1. Прямые слагаемые E53). 2. Сервантные подгруппы E54). 3. Обоб-
щения сервантности E55). 4. Высокие подгруппы E56). 5. Алгебраически
компактные группы E57).
§ Д.30. Примарные абелевы группы 557
1. Базисные подгруппы E57). 2. Примарные группы без элементов
бесконечной высоты E59). 3. Ульмовские инварианты E60). 4. т-неразло-
жимые группы E60).
§ Д.31. Абелевы группы без кручения 561
1. Группы конечного ранга без кручения E61). 2. Неразложимые
группы E62). 3. Изоморфизмы прямых разложений E62). 4. Вполне
разложимые группы E63). 5. Полные прямые суммы групп ранга 1
E64). 6. Узкие группы E65). 7. Другие вопросы E65).
§ Д.32. Смешанные абелевы группы 566
1. Расщепление смешанных абелевых групп E66). 2. Условия рас-
щепления данной группы E67). 3. Смешанные группы ранга 1 E67).
§ Д.33. Операции Ext, Horn, тензорное умножение и Тог 568
1. Группа Ext E68). 2. Другие результаты о группе Ext E69).
3. 5-группы, PF-группы E69). 4. /'-группы, непериодические группы E70).
5. Группа Нот E70). 6. Тензорное произведение E71). 7. Группа Гротен-
дика абелевых групп без кручения конечного ранга E72). 8. Груп-
па Тог E72).
§ Д.34. Эндоморфизмы и автоморфизмы абелевых групп 573
1. Кольца эндоморфизмов E73). 2. Группы эндоморфизмов E74).
3. Группы автоморфизмов E74). 4. Мощности колец эндоморфизмов и групп
автоморфизмов E75).
§ Д.35. Другие направления в теории абелевых групп 575
1. Эпиморфные и эндоморфные образы E75). 2. Некоторые теоремы
о мощностях'E76). *3.' Обобщения ' изоморфизма E77). 4. Другие работы
E77).
ДК. Дополнительные замечания при корректуре 578
Указатель литературы 581
Именной указатель 637
Предметйый ' указатель . / 641