КубГУ, 2 курс, 3-ий семестр, 2010 г.
Преподаватель: Черных Н. М.
Отсканированные рукописные лекции по предмету - «Математический анализ».
Содержание (отсутствует одна лекция):
Понятие n-мерного евклидова пространства.
Лемма Коши-Щварца. 3-е свойство расстояния.
Множества точек в n-мерном евклидовом пространстве.
Лемма о шаровой и прямоугольной окрестностях.
Последовательности в n-мерном евклидовом пространстве. Критерий сходимости.
Ограниченные последовательности в n-мерном евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Открытые множества в n-мерном евклидовом пространстве. Лемма о шаровой окрестности.
Понятие предельной точки и топологические характеристики множеств в n-мерном евклидовом пространстве.
Понятие функции нескольких переменных. Множества уровня.
Предел функции нескольких переменных. Различные определения.
Повторные пределы. Пример.
Связь между двойными и повторными пределами.
Непрерывность функции нескольких переменных. Непрерывность суперпозиции.
Непрерывность функции нескольких переменных на множестве. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.
Непрерывность функции нескольких переменных на множестве. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
Равномерная непрерывность функции нескольких переменных. Теорема Кантора.
Частные производные и частные дифференциалы функции нескольких переменных.
Полное приращение функции нескольких переменных. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
Производные от сложных функций нескольких переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала для функции нескольких переменных.
Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
Формула конечных приращений для функции трёх переменных.
Производные высших порядков для функции нескольких переменных. Теоремы о равенстве смешанных производных.
Дифференциалы высших порядков.
Производная по направлению. Пример.
Градиент. Пример.
Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
Определение и необходимые условия экстремума для функции нескольких переменных.
Достаточные условия экстремума для функции двух переменных. Примеры.
Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. Критерий Сильвестра.
Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Пример.
Понятие неявной функции. Пример.
Теорема о существовании и непрерывности неявной функции.
Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции.
Неявные функции от нескольких переменных. Теорема о существовании и дифференцируемости.
Неявные функции от нескольких переменных, определённые системой уравнений. Теорема о существовании и дифференцируемости.
Вычисление производных неявных функций. Примеры.
Относительные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия. Пример.
Метод неопределённых множителей Лагранжа.
Достаточные условия относительного экстремума для функции нескольких переменных. Пример.
Зависимость функций.
Понятие функциональной последовательности и её предельной функции. Примеры.
Понятие функционального ряда, его сходимость. Связь с функциональной последовательностью.
Равномерная сходимость функциональной последовательности. Примеры.
Равномерная сходимость функционального ряда. Примеры.
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.
Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности.
Теоремы о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема о почленном переходе к пределу функционального ряда.
Теорема о почленном интегрировании функционального ряда.
Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.
Перефразировка теорем о функциональных свойствах суммы функционального ряда на случай функциональной последовательности.
Понятие степенного ряда, его промежуток сходимости.
Выражение радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты.
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций: экспонента, синус, косинус.
Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций. Логарифмический ряд. Биномиальный ряд. Частные случаи разложений.
Непрерывность суммы степенного ряда.
Свойства степенных рядов. Теорема Абеля.
Задача об объёме цилиндрического бруса.
Сведение двойного интеграла к повторному. Частный случай цилиндрического бруса.
Определение двойного интеграла.
Условия существования двойного интеграла.
Классы интегрируемых функций. Случай двойного интеграла.
Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.
Преобразование плоских областей. Криволинейные координаты.
Выражение площади в криволинейных координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Пример.
Вычисление объёмов и площадей с помощью двойных интегралов.
Вычисление массы и центра масс пластинки с помощью двойного интеграла.
Задача о вычислении массы тела.
Понятие тройного интеграла и условия его существования.
Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов.
Вычисление тройного интеграла по параллелепипеду.
Вычислений тройного интеграла по произвольной области.
Замена переменных в тройных интегралах.
Цилиндрическая система координат.
Сферическая система координат.
