Теория поверхностей

Титульный лист......Page 1
Выходные данные......Page 2
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
Предисловие......Page 7
2. Касательная......Page 11
3. Длина дуги......Page 12
4. Главная нормаль......Page 14
6. Соприкасающаяся плоскость......Page 15
7. Движение трехгранника Френе......Page 16
9. Кривизна и кручение......Page 18
10. Кривые Бертрана......Page 19
11. Натуральные уравнения кривой......Page 22
12. Винтовые линии......Page 23
13. Огибающая семейства поверхностей......Page 24
15. Полярная поверхность......Page 26
16. Эволюты кривой......Page 27
17. Спрямляющая поверхность......Page 28
18. Соприкасающаяся плоскость......Page 29
19. Соприкасающаяся сфера......Page 30
20. Формула для вычисления кручения кривой......Page 32
Упражнения......Page 33
1. Криволинейные координаты на поверхности......Page 37
2. Касательная плоскость......Page 38
3. Линейный элемент поверхности......Page 39
4. Угол двух кривых на поверхности......Page 40
5. Площадь поверхности......Page 41
6. Плоскость и сфера......Page 42
7. Поверхность вращения......Page 43
8. Катеноид......Page 44
9. Псевдосфера......Page 45
10. Линейчатая поверхность......Page 46
12. Развертывающаяся поверхность......Page 49
13. Изгибание поверхностей вращения......Page 50
14. Изгибание шара......Page 51
15. Конформное отображение......Page 52
16. Конформное отображение поверхности вращения на плоскость......Page 53
17. Изотермическая система......Page 54
18. Линии нулевой длины......Page 55
Упражнения......Page 57
1. Кривизна кривой на поверхности......Page 60
2. Нормальная кривизна кривой......Page 61
3. Индикатриса Дюпена......Page 62
4. Формула Эйлера......Page 64
5. Главные радиусы кривизны......Page 65
6. Трехгранник Дарбу......Page 66
7. Кинематическое значение квадратичных форм Гаусса......Page 68
8. Сферическое изображение поверхности......Page 69
9. Кривизна поверхности......Page 70
10. Линии кривизны......Page 71
11. Качение трехгранника Дарбу по поверхности центров......Page 73
12. Сопряженные направления......Page 74
13. Поверхность, отнесенная к сопряженной системе......Page 76
14. Асимптотические линии......Page 77
15. Асимптотические касательные к поверхности......Page 78
16. Поверхность, отнесенная к асимптотическим линиям......Page 80
17. Формулы Лельёвра......Page 81
19. Проективное преобразование пространства......Page 83
20. Квадратичные формы поверхности......Page 84
Упражнения......Page 85
1. Основные уравнения в форме Дарбу......Page 89
2. Единственность поверхности с заданными инвариантами......Page 90
3. Определение конечных уравнений поверхности......Page 91
4. Определение трехгранника Дарбу по коэфициентам двух квадратичных форм......Page 92
5. Уравнения Кодацци......Page 93
6. Две задачи изгибания......Page 95
7. Теорема Гаусса......Page 96
8. Первая задача изгибания......Page 97
9. Поверхности постоянной кривизны......Page 98
10. Изгибание с одной твердой линией......Page 101
11. Изгибание с сохранением асимптотических линий одного семейства......Page 102
12. Изгибание с сохранением сопряженной системы......Page 103
13. Сферическое изображение и его линейный элемент......Page 105
14. Третья квадратичная форма Гаусса......Page 106
15. Поверхность с заданным сферическим изображением сопряженной системы......Page 107
16. Сферическое изображение асимптотических линий......Page 109
17. Примеры......Page 110
Упражнения......Page 112
1. Геодезические — как линии постоянного направления на поверхности......Page 115
2. Уравнение геодезической линии......Page 116
3. Геодезическая линия как кратчайшее расстояние......Page 117
4. Теорема Дарбу......Page 118
5. Геодезические на поверхности вращения......Page 120
6. Развертывание линии на плоскость......Page 121
7. Геодезическое кручение......Page 124
8. Кривизна геодезического треугольника......Page 125
9. Геодезические круги Дарбу......Page 127
10. Геодезические эллипсы и гиперболы......Page 128
11. Теорема Якоби......Page 129
12. Поверхности Лиувилля......Page 131
13. Геометрия на псевдосфере......Page 134
Упражнения......Page 138
1. Поверхности с наименьшей площадью......Page 141
2. Основные свойства минимальной поверхности......Page 142
3. Формулы Монжа......Page 143
4. Формулы Вейерштрасса......Page 144
5. Односторонние минимальные поверхности......Page 146
6. Изгибание минимальных поверхностей......Page 149
7. Формулы Шварца......Page 150
8. Следствие из формул Шварца......Page 152
9. Частные случаи......Page 153
Упражнения......Page 156
2. Конгруэнция кривых......Page 158
3. Конгруэнция прямых......Page 161
4. Фокусы луча......Page 162
5. Граничные точки луча......Page 164
6. Изотропная конгруэнция......Page 166
7. Нормальная конгруэнция......Page 169
8. Конгруэнция $W$......Page 172
9. Поверхности Вейнгартена......Page 173
10. Псевдосферическая конгруэнция......Page 176
11. Основные формы Санниа......Page 177
Упражнения......Page 179
1. Криволинейные координаты в пространстве......Page 182
2. Теорема Дюпена......Page 184
3. Уравнение Ляме......Page 185
4. Теорема Лиувилля о конформном отображении пространства......Page 186
5. Теорема Дарбу......Page 188
6. Уравнения для семейства поверхностей Ляме......Page 190
7. Софокусные поверхности второго порядка......Page 191
8. Изотермическая система......Page 193
Упражнения......Page 194
Таблица основных формул......Page 195
Выходные данные......Page 200
Рисунки......Page 201
Обложка......Page 205