Метод дробных производных

Титульный лист......Page 1
Аннотация и выходные данные......Page 2
Посвящение......Page 3
Содержание......Page 5
Предисловие......Page 12
Часть I Физические основания метода......Page 17
1.1 Понятие эредитарности......Page 19
1.2.1 Законы эредитарности Вольтерры......Page 22
1.2.2 Эредитарная струна......Page 23
1.2.3 Эредитарный осциллятор......Page 25
1.2.4 Принцип энергии......Page 27
1.2.5 Эредитарная электродинамика......Page 28
1.3 Эредитарная термодинамика......Page 29
1.4 Эредитарное кинетическое уравнение Больцмана......Page 30
1.5 Обобщенная гидродинамика......Page 33
1.6 Эредитарная диффузия......Page 35
1.7 Память в полимерных жидкостях......Page 36
1.8 Эредитарное уравнение Паули......Page 38
1.9 Эредитарное уравнение Фоккера-Планка......Page 39
1.10 Эредитарное уравнение Ланжевена......Page 41
1.11 Эредитарная динамика упругого тела......Page 42
1.12 Эредитарная кинетика плазмы......Page 43
1.13 Эредитарность и скрытые переменные......Page 45
2.1 Стандартная степенная функция......Page 49
2.2 Свойства степенных функций......Page 50
2.3.1 Движение шара в жидкости......Page 53
2.3.3 Диффузия......Page 54
2.3.4 Закон Нуттинга......Page 56
2.3.5 Релаксация полимерных цепочек......Page 57
2.3.6 Самонепересекающиеся блуждания......Page 58
2.3.7 Диффузионно-ограниченная агрегация......Page 59
2.3.8 Закон Кюри-фон Швайдлера......Page 60
2.3.9 Асимптотически степенные аппроксимации релаксации......Page 61
2.3.10 Затухание люминесценции......Page 63
2.3.11 Затухание турбулентности......Page 64
2.3.12 Релаксация в спиновых стеклах......Page 65
2.3.14 Временные корреляции в жидкостях и газах......Page 66
2.3.15 Тяжелые хвосты в распределениях вероятностей......Page 67
2.3.17 Время пребывания в ловушке......Page 69
2.3.18 Пробег фотона в плазме......Page 71
2.3.19 Мерцающая флуоресценция квантовых точек......Page 73
2.3.20 Распределения с тяжелыми хвостами и принцип максимума энтропии......Page 74
2.4 От степенных функций к дробным производным......Page 77
3.1 Нормальная диффузия......Page 83
3.2 Марковские процессы......Page 85
3.3 Автомодельность и устойчивость......Page 88
3.4.1 Характеристические функции......Page 91
3.4.2 Устойчивые распределения как предельные......Page 93
3.4.3 Свойства устойчивых распределений......Page 94
3.4.4 Многомерные устойчивые распределения......Page 97
3.4.5 Устойчивые плотности - экзотика или реальность?......Page 99
3.5.1 Движение Леви......Page 107
3.5.2 Траектории движения Леви......Page 108
3.5.3 Процесс Орнштейна-Уленбека......Page 110
3.5.4 Дробная стохастика и шумы......Page 111
3.6.1 Процессы восстановления......Page 114
3.6.2 Теорема об аномальной диффузии......Page 117
3.6.3 Уравнения аномальной диффузии......Page 119
3.6.4 Обобщенный закон Фика......Page 120
4.1 Фракталы......Page 125
4.2 Фрактальная пыль......Page 131
4.3 Генератор фрактальной пыли......Page 134
4.4 Дьявольская лестница и дробные производные......Page 136
4.5 Фрактальная пыль в $d$-мерном пространстве......Page 140
Часть II Математические основы метода......Page 147
5.1 Производные натуральных порядков......Page 149
5.2 Производные целых отрицательных порядков......Page 151
5.3 Дробные интегралы Римана-Лиувилля......Page 155
5.4 Дробные производные Римана-Лиувилля и Вейля......Page 158
5.5.1 Элементарные свойства......Page 160
5.5.3 Обратные операторы......Page 161
5.5.6 Обобщенные ряды Тейлора......Page 162
5.5.7 Выражение дробной производной через целые......Page 163
5.5.9 Асимптотическое поведение $_af^{(\nu)}(x)$ при $х\to a$......Page 164
5.5.10 Асимптотическое поведение $_af^{(\nu)}(x)$ при $x\to\infty$......Page 165
5.5.11 Производная от постоянной......Page 166
5.5.12 Производные степенной функции......Page 167
5.6 Дробные производные Капуто......Page 168
5.7 Дробные производные Маршо......Page 171
5.8 Производные аналитических функций......Page 174
5.9 Производные обобщенных функций......Page 176
5.10 Локальные дробные производные......Page 177
6.1 Операторы сдвига и разности......Page 179
6.2 Разности целых и дробных порядков......Page 180
6.3 Производные Грюнвальда-Летникова с бесконечным пределом......Page 181
6.4 Производные Грюнвальда-Летникова......Page 184
6.5 Связь с дробными операторами Вейля, Лиувилля и Римана......Page 185
7.1 Преобразование Лапласа......Page 189
7.2 Преобразование Меллина......Page 192
7.3 Преобразование Фурье......Page 195
8.1 Потенциалы и производные Рисса на прямой......Page 199
8.2 Преобразование Фурье потенциалов Рисса......Page 200
8.3 Риссовы производные......Page 201
8.4 Преобразование Фурье производных Рисса......Page 203
8.5 Потенциал Феллера......Page 204
8.6 Производные по направлению......Page 206
8.7 Дробные градиенты и лапласианы......Page 207
8.8 Риссовы потенциалы и движение Леви......Page 210
9.1 Простейшее уравнение......Page 215
9.3 Метод последовательных приближений......Page 217
9.4 Метод характеристических полиномов......Page 219
9.5 Неоднородные уравнения рационального порядка......Page 221
9.6 Метод разложения в степенной ряд......Page 222
9.7 Разложение в ряд обратных дифференциальных операторов......Page 223
9.8 Метод преобразования Лапласа......Page 224
9.9 Метод функций Грина......Page 228
9.10 Уравнение с составным дробным оператором......Page 229
9.11 Обобщенное уравнение Абеля......Page 232
9.12 Уравнения с распределенными порядками......Page 233
9.13 Уравнения с переменными коэффициентами......Page 234
10.1 Дробно-баллистическое движение......Page 237
10.2 Субдиффузия на оси......Page 240
10.3 Субдиффузия на полуоси......Page 242
10.4 Сигнальная задача......Page 244
10.5 Проблема нормировки......Page 245
10.6 Субдиффузия в многомерном пространстве......Page 247
10.7 Субволны в многомерном пространстве......Page 249
10.8 Изотропная супердиффузия......Page 251
10.9 Связь между решениями уравнений с дробными и целыми производными по времени......Page 252
10.10 Телеграфное уравнение......Page 254
10.11 Аномальная диффузия на отрезке......Page 256
10.12 Дробно-устойчивые плотности......Page 258
Часть III Применения метода......Page 265
11.1 Задача о таутохроне......Page 267
11.2 Обратные задачи механики......Page 268
11.3 Пластина в вязкой жидкости......Page 270
11.4 Дробно-дифференциальное уравнение Ньютона......Page 272
11.5 Дробно-дифференциальное падение......Page 273
11.7 Жидкая капля в акустическом поле......Page 275
11.8 Вариационная задача с дробными производными......Page 278
11.9 Гамильтониан дискретной системы......Page 280
11.10 Гамильтонов формализм для поля......Page 281
12.1 Постановка задачи......Page 285
12.2 Дробно-дифференциальная модель Максвелла......Page 287
12.3 Дробно-дифференциальное обобщение модели Кельвина......Page 288
12.4 Стандартная модель и ее обобщение......Page 289
12.5 Модель Бэгли-Торвика......Page 291
12.6 Петля гистерезиса......Page 292
12.7 Модель Габотнова......Page 294
12.8 Составные механические модели......Page 296
12.9 Теория Гауса......Page 299
12.10 Динамический подход......Page 300
12.11.1 Плоское течение......Page 303
12.11.2 Цилиндрическое течение......Page 305
12.12.1 Излучение звука......Page 306
12.12.2 Поглощение звука......Page 307
13.1 Два подхода......Page 311
13.2 Гранулированная пористость......Page 314
13.3 Телеграфная модель......Page 315
13.4 Вывод дробно-дифференциального уравнения......Page 316
13.5 Волоконная пористость......Page 318
13.6 Второй вывод дробно-дифференциального уравнения......Page 319
13.7 Фильтрация......Page 320
13.8 Волны......Page 322
13.9 Гребешковая модель......Page 323
14.1 Нагревание стержня......Page 329
14.2 Теплообмен (диффузия) через сферическую границу......Page 331
14.3 Уравнение Орнштейна-Цернике......Page 332
14.4 Дробно-дифференциальный аналог уравнения Орнштейна-Цернике......Page 334
14.5 Классификация фазовых переходов......Page 335
15.1 Феноменология релаксации......Page 339
15.2 Процесс Коула-Коула: макроскопическая интерпретация......Page 341
15.3 Микроскопическая интерпретация......Page 342
15.4 Феномен памяти......Page 343
15.5 Процесс Коула-Дэвидсона......Page 348
15.7 Универсальный закон релаксации Джоншера......Page 351
16.1 Диффузия в полупроводниках......Page 355
16.2 Дисперсионный перенос......Page 356
16.3 Автомодельность......Page 357
16.4 Устойчивость как следствие автомодельности......Page 361
16.5 Дробно-дифференциальные уравнения как следствие устойчивости......Page 362
17.1 Полубесконечная электрическая линия......Page 367
17.3 Импеданс шероховатой поверхности......Page 370
18.1 Турбулентная диффузия......Page 375
18.2 Уравнение турбулентной диффузии......Page 377
18.3 Турбулентная диффузия с учетом вязкости......Page 379
18.4 Дробно-дифференциальное обобщение уравнения Навье-Стокса......Page 380
18.5 Дробно-дифференциальное уравнение Рейнольдса......Page 382
18.6 Диффузия в полосовых течениях......Page 384
18.7 Луч света в турбулентной среде......Page 387
19.1 Дробно-дифференциальная феноменология......Page 393
19.2 Гидродинамический подход......Page 394
19.3 Неравновесные стационарные распределения......Page 395
19.4 Диффузия резонансных фотонов......Page 396
19.5 Ударное уширение спектральной линии......Page 397
20.1 Фрактоны......Page 401
20.2 Слабые фрактонные возбуждения......Page 402
20.4 Дробный аналог уравнения Гинзбурга-Ландау......Page 403
20.5 Лазерное охлаждение атомов......Page 404
20.6.1 Бинарная модель......Page 406
20.6.2 Дробно-дифференциальные уравнения процесса......Page 409
21.1 Крупномасштабная структура: модель Мандельброта......Page 413
21.2 Статистика в узком луче......Page 416
21.3 Рассеяние света гравитационными полями......Page 418
21.4 Диффузия космических лучей......Page 422
22.1 Проблема интерпретации......Page 427
22.2 Геометрическая интерпретация дробных интегралов......Page 428
22.3 Механическая интерпретация дробных операторов......Page 430
22.4 Фрактальная интерпретация дробного интеграла......Page 431
22.5 Сложные системы и скрытые переменные......Page 435
Приложение. Некоторые специальные функции......Page 441
Библиография. Дробно-дифференциальные модели в физике......Page 450
Обложка......Page 511