Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 632 с. (Математика в политехническом университете. Вып. 4).ISBN 5-7422-0615-1Книга представляет собой учебное пособие по теории функций комплексной переменной, рассчитанное на студентов политехнических университетов. Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой. Приведены подробные решения около 400 задач, разъясняющие основные идеи, теоретические факты и их практическое применение.Оглавление:
Комплексные числа
Определение комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Равенство комплексных чисел
Сложение и вычитание
Умножение
Комплексно сопряженное число
Деление
Извлечение корня
Стереографическая проекция
Функции комплексной переменной и их дифференцирование
Комплексная переменная
Предел последовательности комплексных чисел
Основные геометрические понятия
Функция комплексной переменной, ее предел и непрерывность
Производная функции комплексной пеоеменной
Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции f(x)
Понятие регулярности (аналитичности) функции в области
Геометрический смысл производной
Элементарные регулярные функции и соответствующие им конформные отображения
Дробно-линейная функция
Показательная функция w=ez
Логарифмическая функция
Степенная функция
Функция Жуковского
Тригонометрические и гиперболические функции
Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Примеры и задачи на конформные отображения, связанные с элементарными функциями
Отображения посредством дробно-линейных функций
Отображения простейших двусвязных областей
Отображения круговых луночек и областей с разрезами
Отображения посредством функции Жуковского
Отображения посредством основных трансцендентных функций
Интеграл от функции комплексной переменной
Определение интеграла от функции комплексной переменной
по кривой. Существование и вычисление этого интеграла
Интегральная теорема Коши
Первообразная функция и основная формула интегрального исчисления
Интегральная теорема Коши для многосвязных областей
Интегральная формула Коши
Интеграл типа Коши
Обращение интегральной теоремы Коши
Формула Пуассона и теорема о среднем значении
Формула Пуассона для неограниченной области
Принцип максимума модуля
Гармонические функции и их связь с регулярными
Формула Пуассона для гармонической функции
Принцип максимума и минимума для гармонических функций
Примеры на нахождение регулярной функции по известной вещественной или мнимой её частям
Теория рядов
Ряды с комплексными членами
Примеры (исследование на сходимость числовых рядов с комплексными членами)
Функциональные ряды
Теорема о равномерно сходящихся рядах регулярных функций
Степенные ряды
Приемы разложения функций в степенные ряды
Разложение элементарных функций в степенные ряды
Теорема Коши—Адамара
Ряд Лорана
Нули и изолированные особые точки
Определение нуля функции f(x)
Определение изолированной особой точки однозначного характера
Теорема Сохоцкого
Бесконечно удаленная точка плоскости
Примеры на разложение функций в ряд Тейлора
Примеры на разложение функций в ряд Лорана
Примеры на исследование изолированных особых точек однозначного характера
Теория вычетов и ее приложения
Основная теорема о вычетах
Вычисление вычета в случае полюса
Вычисление определенных интегралов посредством теории вычетов
Теорема о вычетах для неограниченной области
Задачи на вычисление интегралов
Логарифмический вычет
Теорема Коши о числе корней и полюсов функции
Теорема Римана (достаточные условия взаимно-однозначного отображения)
Обращение степенного ряда
Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности. Особые точки
Теорема единственности
Аналитическое продолжение
I. Непосредственное аналитическое продолжение
II. Аналитическое продолжение посредством цепи областей
III. Аналитическое продолжение вдоль кривой
IV. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов
Особые точки полной аналитической функции
Аналитическое продолжение в соприкасающуюся область
Принцип симметрии
Обобщенный принцип симметрии
Задачи на конформные отображения с применением принципа симметрии
Римановы поверхности элементарных многозначных функций
Теорема о сохранении области при аналитическом отображении
Геометрический смысл обращения степенного ряда
Основная задача конформного отображения
Конформное отображение на многоугольную область
