Introduction à la logique

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
AVERTISSEMENT......Page 4
PRÉFACE DE L'EDITION ORIGINALE......Page 6
PRÉFACE DE L'ÉDITION AUGMENTÉE......Page 8
PREMIÈRE PARTIE ÉLÉMENTS DE LOGIQUE. MÉTHODE DÉDUCTIVE......Page 14
1. Constantes et variables......Page 16
2. Expressions contenant des variables - Fonctions propositionnelles et fonctions descriptives......Page 17
3. Formation de propositions au moyen de variables -- Propositions universelles et propositions existentielles......Page 19
4. Quantificateur universel et quantificateur existentiel ; variables libres et variables liées......Page 21
5. L'importance des variables en mathématiques......Page 24
Exercices......Page 25
6. Les constantes logiques ; l'ancienne logique et la nouvelle logique......Page 30
7. Le calcul des propositions; négation d'une proposition, conjonction et disjonction des propositions......Page 31
8. Implication ou proposition conditionnelle ; implication au sens matéri el......Page 34
9. L'usage de l'implication en mathématiques......Page 39
10. Équivalence des propositions......Page 42
11. La formulation des définitions et ses règles......Page 43
12. Lois du calcul des propositions......Page 45
13. Symbolisme du calcul des propositions ; fonctions de vérité et tables de vérité......Page 47
14. Application des lois du calcul des propositions dans les inférences......Page 53
15. Règles d'inférence, preuves complètes......Page 55
Exercices......Page 57
16. Les concepts logiques en dehors du calcul des propositions ; le concept d'identité......Page 62
17. Lois fondamentales de la théorie de l'identité......Page 63
18. L'identité des choses et l'identité de leurs désignations ; usage des guillemets......Page 65
19. L'égalité en arithmétique et en géométrie, et sa relation avec l'identité logique......Page 68
20. Quantificateurs numériques......Page 70
Exercices......Page 71
21. Les classes et leurs éléments......Page 76
22. Classes et fonctions propositionnelles à une variable libre......Page 77
23. La classe universelle et la classe nulle......Page 80
24. Les relations fondamentales entre les classes......Page 81
25. Opérations sur les classes......Page 84
26. Classes équipotentes, nombre cardinal d'une classe, classes finies et classes infinies ; l'arithmétique comme une partie de la logique......Page 86
Exercices......Page 88
27. Les relations, leurs domaines et leurs domaines contre-domaines ; les relations et les fonctions propositionnelles à deux variables libres......Page 94
28. Le calcul des relations......Page 97
29. Quelques propriétés des relations......Page 100
30. Relations qui sont réflexives, symétriques et transitives......Page 101
31. Relations d'ordre, exemples d'autres relations......Page 103
32. Relations univoques ou fonctions......Page 104
33. Relations ou fonctions biunivoques, et correspondances biunivoques......Page 108
34. Relations à plusieurs termes ; fonctions à plusieurs variables et opérations......Page 111
35. L'importance de la logique pour les autres sciences......Page 113
Exercices......Page 114
36. Les constituants fondamentaux d'une théorie déductive - Termes primitifs et termes définis, axiomes et théorèmes......Page 122
37. Modèle et interprétation d'une théorie déductive......Page 125
38. La loi de déduction ; caractère formel des sciences déductives......Page 130
39. Choix des axiomes et des termes primitifs ; leur indépendance......Page 134
40. La formalisation des définitions et des preuves, les théories déductives formalisées......Page 135
41. Consistance et complétude d'une théorie déductive ; le problème de décision (decision problem)......Page 138
42. La conception élargie de la méthodologie des sciences déductives......Page 141
Exercices......Page 143
SECONDE PARTIE APPLICATIONS DE LA LOGIQUE ET DE LA MÉTHODOLOGIE A LA CONSTRUCTION DES THÉORIES MATHÉMATIQUES......Page 156
43. Termes primitifs de la théorie à construire ; axiomes concernant les relations fondamentales entre les nombres......Page 158
44. Lois de non réflexivité pour les relations fondamentales ; preuves indirectes......Page 160
45. Autres théorèmes portant sur les relations fondamentales......Page 162
46. Autres relations entre les nombres......Page 164
Exercices......Page 168
47. Axiomes concernant l'addition ; propriétés générales des opérations, concepts de groupe et de groupe abélien......Page 170
48. Les lois commutative et associative pour un nombre plus grand d'éléments à additionner......Page 172
49. Lois de monotonie pour l'addition et leurs converses......Page 173
50. Systèmes fermés de propositions......Page 177
51. Conséquences des lois de monotonie......Page 178
52. Définition de la soustraction ; opérations inverses......Page 181
53. Définitions dont le definiendum contient le signe d'identité......Page 182
54. Théorèmes sur la soustraction......Page 184
Exercices......Page 185
55. Élimination des axiomes superflus dans le système d'axiomes originel......Page 192
56. Indépendance des axiomes du système simplifié......Page 195
57. Élimination des termes primitifs superflus et simplification subséquente du système d'axiomes ; concept de groupe abélien ordonné......Page 196
58. Autre simplification du système d'axiomes; transformations possibles du système de termes primitifs......Page 199
59. Le problème de la consistance de la théorie que nous venons de construire......Page 204
60. Le problème de la complétude de la théorie que nous avons construite......Page 205
Exercices......Page 206
61. Premier système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels......Page 212
62. Caractérisation plus stricte du premier système d'axiomes ; ses avantages méthodologiques et ses inconvénients didactiques......Page 213
63. Second système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels......Page 215
64. Caractérisation plus stricte du second système d'axiomes ; concepts de corps et de corps ordonné......Page 216
65. Équipollence des deux systèmes d'axiomes ; désavantages méthodologiques et avantages didactiques du second système......Page 218
Exercices......Page 219
LECTURES CONSEILLÉES......Page 224
A. Développement systématique de la logique......Page 225
B. Théorie générale des ensembles......Page 227
C. Fondements de l'arithmétique en logique et en théorie des ensembles......Page 229
D. Méthodologie des sciences déductives (métalogique et méta-mathématique )......Page 231
E. Fondements axiomatiques de théories mathématiques particulières......Page 233
F. Histoire de la logique......Page 234
G. Philosophie de la logique et des mathématiques......Page 235
INDEX FRANÇAIS-ANGLAIS......Page 238