Rédigé à l'attention des étudiants en Licence de mathématiques et des classes
préparatoires scientifiques, l'ouvrage est constitué d'un cours complet, de
commentaires et développements et de 120 exercices corrigés.
Afin d'aborder les différents aspects de la théorie de la réduction, les premiers
chapitres détaillent avec soin les objets et concepts de l'algèbre linéaire.
Les chapitres suivants présentent aussi bien les critères pratiques que leurs
utilisations théoriques, à l'appui de nombreux exemples.
Cette approche pédagogique offre également une base solide de révision pour
tous les candidats qui se préparent aux concours de l'enseignement.
Author(s): Roger Mansuy, Rached Mneimné
Publisher: Vuibert
Year: 2012
Language: French
Pages: 194
I. Polynômes d'endomorphismes
1. Un morphisme d'algèbre 1
2. Idéal des polynômes annulateurs 2
3. Polynôme minimal 4
4. Utilisation pratique d'un polynôme annulateur 5
5. Commentaires et développements 7
6. Exercices 9
II. Sous-espaces stables
1. Restriction d'un endomorphisme 13
2. Sous-espace stable 15
3. Endomorphisme induit sur un sous-espace stable 16
4. Exemples de sous-espaces stables 16
5. Sous-espaces cycliques 17
6. Commentaires et développements 18
7. Exercices 20
III. Commutation
1. Définitions 25
2. Calculs de commutants 27
3. Endomorphisme adf 28
4. Commentaires et développements 29
5. Exercices 30
IV. Lemme des noyaux
1. Étude de kerP(/) 37
2. Lemme des noyaux 38
3. Décomposition de l'espace en sous-espaces stables 40
4. Commentaires et développements 41
5. Exercices . . 43
V. Éléments propres, caractéristiques
1. Définitions 45
2. Polynôme caractéristique 48
3. Commentaires et développements 50
4. Exercices 53
VI. Endomorphismes cycliques
1. Définitions 59
2. Caractérisation avec le polynôme minimal 60
3. Caractérisation avec le commutant 60
4. Matrice compagnon 62
5. Polynôme caractéristique 64
6. Commentaires et développements 65
7. Exercices 67
VII. Théorème de Cayley & Hamilton
1. Énoncé et conséquences 71
2. Preuve par les sous-espaces cycliques 72
3. Preuve par la formule de la comatrice 72
4. Sous-espaces caractéristiques 73
5. Multiplicités 73
6. Commentaires et développements 74
7. Exercices 75
VIII. Diagonalisation
1. Critères de diagonalisation 79
2. Critère de co-diagonalisation 84
3. Commentaires et développements 85
4. Exercices 86
IX. Trigonalisation
1. Critères de trigonalisation 93
2. Fonctions symétriques des valeurs propres 95
3. Commentaires et développements 99
4. Exercices 100
X. Réduction de Jordan
1. Décomposition de Jordan & Dunford 105
2. Réduction de Jordan : cas nilpotent 107
3. Interlude : lire un tableau de Young 113
4. Réduction de Jordan : cas général 114
5. Commentaires et développements 115
6. Exercices 117
XI. Réduction de Probenius
1. Réduction de Frobenius 125
2. Retour sur la réduction de Jordan 128
3. Commutants et bicommutants 131
4. Commentaires et développements 134
5. Exercices 135
XII. Topologie des classes de similitude
1. Rappels sur la relation de similitude 139
2. Classes de similitude dans M2O&) 140
3. Adhérence d'une classe de similitude 144
4. Connexité d'une classe de similitude 146
5. Commentaires et développements 147
6. Exercices 148
XIII. Localisation des valeurs propres
1. Théorème de Hadamard 153
2. Disques de Gerschgorin 154
3. Rayon spectral 156
4. Théorème de Perron 157
5. Théorème de Perron & Frobenius 159
6. Commentaires et développements 161
7. Exercices 163
XIV. Application aux chaînes de Markov finies
1. Chaînes de Markov 169
2. Matrice de transition 170
3. Probabilité invariante 173
4. Théorème ergodique 174
5. Commentaires et développements 176
6. Exercices 178
Notations 181
Index 182
