Аналитическая геометрия

Титульный лист......Page 1<br>Выходные данные......Page 2<br>ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3<br>Предисловие......Page 16<br>1. Поверхность, выражаемая уравнением в декартовых координатах. Примеры......Page 17<br>2. Цилиндрическая поверхность......Page 18<br>3. Коническая поверхность......Page 19<br>5. Преобразование уравнения поверхности при преобразовании декартовых координат......Page 20<br>7. Сечения поверхности плоскостями......Page 21<br>8. Карта поверхности в горизонталях......Page 22<br>§ 125. Плоскости, как поверхности первого порядка......Page 23<br>§ 127. Построение плоскости по ее уравнению......Page 26<br>2. Задание точкой и двумя неколлинеарными векторами, компланарными данной плоскости......Page 29<br>4. Задание отрезками на координатных осях......Page 31<br>§ 129. Параметрические уравнения плоскости......Page 32<br>1. Геометрический смысл знака линейного выражения $Ах+By+Cz+D$......Page 33<br>2. Геометрический смысл линейных неравенств......Page 34<br>4. Отношение, в котором плоскость делит отрезок. Преобразование к декартовым координатам с заданными уравнениями координатных плоскостей......Page 35<br>§ 131. Наклон плоскости в пространстве......Page 36<br>1. Нормирующий множитель......Page 37<br>**3. Вектор $(A,B,C)$, как градиент линейной функции $Ах+By+Cz+D$......Page 38<br>5. Нормальная форма Гессе уравнения плоскости......Page 39<br>§ 133. Три возможных случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Условие параллельности двух плоскостей......Page 40<br>§ 134. Угол между двумя плоскостями......Page 41<br>§ 135. Пучок плоскостей......Page 42<br>§ 136. Восемь возможных случаев взаимного расположения трех плоскостей......Page 43<br>§ 137. Связка плоскостей......Page 45<br>1. Параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении......Page 47<br>2. Канонические уравнения прямой......Page 48<br>3. Нормальные уравнения прямой......Page 49<br>4. Приведенные уравнения прямой......Page 50<br>5. Общие уравнения прямой......Page 52<br>§ 139. Взаимное расположение двух прямых в пространстве......Page 54<br>§ 140. Расстояние от точки до прямой......Page 55<br>1. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых......Page 56<br>2. Расстояние между двумя прямыми......Page 57<br>§ 142. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве......Page 58<br>1. Угол между плоскостью и прямой......Page 60<br>2. Условие перпендикулярности плоскости и прямой в прямоугольных координатах......Page 61<br>§ 144. Некоторые дальнейшие задачи на нахождение уравнений плоскостей и прямых......Page 62<br>ГЛАВА VII. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды......Page 67<br>3. Общий вид эллипсоида......Page 69<br>4. Сжатый и вытянутый эллипсоиды вращения, сфера......Page 70<br>2. Плоскости, оси и центр симметрии гиперболоида......Page 71<br>3. Общий вид однополого гиперболоида......Page 72<br>4. Общий вид двуполого гиперболоида......Page 73<br>6. Конус второго порядка......Page 74<br>**7. Семейство соасимптотических гиперболоидов......Page 75<br>3. Общий вид эллиптического параболоида......Page 76<br>4. Общий вид гиперболического параболоида......Page 78<br>§ 148. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка......Page 80<br>1. Прямолинейные образующие однополого гиперболоида......Page 81<br>2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида......Page 88<br>3. Прямолинейные образующие конуса второго порядка......Page 91<br>**5. Построение поверхности второго порядка, проходящей через произвольную тройку попарно скрещивающихся прямых......Page 92<br>1. Предварительные замечания......Page 93<br>2. Круговые сечения эллипсоида, гиперболоидов, конуса второго порядка, эллиптического параболоида и эллиптического цилиндра......Page 94<br>4. Отсутствие круговых сечений у других поверхностей второго порядка......Page 98<br>*Раздел II. Эллипсоид (геометрическая теория)......Page 99<br>3. Диаметральные плоскости эллипсоида......Page 100<br>6. Сопряженные диаметр и диаметральная плоскость эллипсоида......Page 101<br>7. Сопряженные тройки диаметров и сопряженные тройки диаметральных плоскостей эллипсоида......Page 102<br>8. Аффинные преобразования, переводящие эллипсоид в себя......Page 103<br>2. Сфера, сжатый и вытянутый эллипсоиды вращения, общий эллипсоид......Page 105<br>3. Геометрический смысл коэффициентов «сжатий», преобразующих сферу единичного радиуса в заданный эллипсоид......Page 107<br>4. Главная тройка диаметров эллипсоида......Page 109<br>**5. Главные направления аффинного преобразования пространства......Page 110<br>6. Главная тройка диаметров эллипсоида, как тройка его взаимно перпендикулярных осей симметрии......Page 111<br>9. Круговые сечения эллипсоида......Page 112<br>10. Каноническое уравнение эллипсоида......Page 114<br>1. Однополые и двуполые равносторонние гиперболоиды вращения и прямой круговой конус......Page 115<br>3. Асимптотический конус......Page 118<br>1. Прямой гиперболический поворот......Page 119<br>2. Лемма о преобразовании прямых и плоскостей при прямом гиперболическом повороте......Page 120<br>1. Плоские сечения гиперболоидов и конусов второго порядка. Диаметры гиперболоида......Page 122<br>2. Диаметральные плоскости гиперболоида......Page 125<br>3. Сопряжённые диаметр и диаметральная плоскость гиперболоида......Page 126<br>4. Сопряженные тройки диаметральных плэскостей и диаметров гиперболоида......Page 127<br>5. Прямолинейные образующие однополого гиперболоида......Page 128<br>**6. Геометрическое определение гиперболоидов......Page 131<br>**8. Разложение аффинных преобразований, переводящих гиперболоид в себя, на элементарные повороты......Page 133<br>1. Конус второго порядка, как прямой эллиптический конус......Page 135<br>3. Вершины двуполого гиперболоида. Горловой эллипс и вершины однополого гиперболоида......Page 136<br>4. Главные тройки диаметров гиперболоида......Page 137<br>6. Плоскости симметрии гиперболоида......Page 138<br>7. Круговые сечения гиперболоида и конуса второго порядка......Page 139<br>8. Каноническое уравнение гиперболоида......Page 140<br>1. Параболические повороты......Page 141<br>2. Эллиптические повороты, преобразующие параболоид вращения в себя......Page 143<br>3. Гиперболические повороты, преобразующие равносторонний гиперболический параболоид в себя......Page 144<br>4. Лемма о преобразовании прямых и плоскостей при аффинных преобразованиях, переводящих параболоид в себя......Page 145<br>1. Плоские сечения и диаметры эллиптических параболоидов......Page 147<br>2. Плоские сечения и диаметры гиперболических параболоидов......Page 148<br>3. Диаметральные плоскости эллиптических параболоидов......Page 150<br>4. Диаметральные плоскости гиперболических параболоидов......Page 151<br>5. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида......Page 152<br>**6. Произвольные аффинные преобразования, переводящие параболоид в себя......Page 154<br>1. Главный диаметр (ось) и главные диаметральные плоскости параболоида......Page 156<br>2. Плоскости симметрии параболоида......Page 157<br>3. Оси симметрии параболоида......Page 158<br>4. Круговые сечения эллиптического параболоида......Page 160<br>5. Каноническое уравнение параболоида......Page 162<br>*§ 159. Приведение многочленов второй степени с тремя переменными к простейшему виду способом выделения квадратов......Page 165<br>1. Пятнадцать аффинных классов поверхностей второго порядка......Page 170<br>Раздел II. Приведенные уравнения, канонические уравнения и аффинная классификация поверхностей второго порядка......Page 174<br>§ 161. Преобразование тройничной квадратичной формы к сумме квадратов при помощи ортогонального преобразования переменных......Page 175<br>1. Преобразование к приведенным многочленам......Page 177<br>2. Приведение к каноническому виду......Page 181<br>1. Поверхности второго порядка, выражаемые каноническими сравнениями в прямоугольных координатах......Page 182<br>2. Аффинная эквивалентность поверхностей второго порядка, выражаемых каноническими уравнениями одинакового вида......Page 184<br>4. Аффинные классы поверхностей второго порядка......Page 186<br>§ 164. Первые три инварианта многочлена второй степени с тремя переменными......Page 187<br>§ 165. Четвертый инвариант многочлена второй степени с тремя переменными......Page 191<br>§ 166. Семиинварианты......Page 193<br>§ 167. Признаки приведенных типов многочленов второй степени с тремя переменными через инварианты и семиинварианты......Page 197<br>§ 168. Вычисление коэффициентов приведенных многочленов через инварианты и семиинварианты......Page 200<br>§ 169. Определение класса поверхности второго порядка и ее канонического уравнения при помощи инвариантов. Сводная таблица......Page 204<br>§ 170. Признак уравнения сферы......Page 207<br>1. Определения......Page 209<br>2. Задание прямой двумя точками. Направляющие векторы прямой......Page 210<br>3. Параллельность вектора и плоскости. Признак компланарности трех векторов......Page 212<br>4. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным неколлинеарным векторам......Page 213<br>5. Взаимное расположение двух плоскостей......Page 214<br>6. Взаимное расположение плоскости и прямой......Page 215<br>7. Взаимное расположение двух прямых......Page 216<br>9. Преобразование к новым декартовым координатам......Page 219<br>§ 172. Точки пересечения поверхности второго порядка прямыми......Page 221<br>1. Определение общих точек поверхности второго порядка и прямой......Page 222<br>2. Асимптотические и неасимптотические направления......Page 224<br>3. Конус асимптотических направлений......Page 226<br>1. Уравнения, определяющие центр......Page 228<br>2. Центральные и нецентральные поверхности второго порядка......Page 230<br>1. Асимптотический конус......Page 232<br>4. Условие распадения конической поверхности второго порядка на пару плоскостей......Page 233<br>**7. Пересечение конуса второго порядка плоскостями, проходящими через вершину......Page 236<br>1. Диаметральная плоскость, сопряженная к данному неасимптотическому направлению......Page 237<br>2. Особые направления......Page 239<br>**4. Признак параллельности диаметральных плоскостей......Page 241<br>**6. Диаметральные плоскости центральной поверхности второго порядка......Page 242<br>**7. Диаметральные плоскости поверхностей с прямою цен«ров......Page 243<br>**8. Диаметральные плоскости параболоида......Page 244<br>**9. Диаметральные плоскости поверхности ранга 1......Page 245<br>10. Сопряженные направления......Page 246<br>1. Главные направления......Page 247<br>3. Корни характеристического уравнения и главные направления......Page 248<br>**4. Признак кратности корня характеристического уравнения......Page 251<br>5. Главные диаметральные плоскости......Page 252<br>1. Плоские сечения поверхности второго порядка......Page 254<br>2. Центральные плоские сечения поверхности второго порядка......Page 255<br>3. Диаметры......Page 256<br>4. Диаметры центральной поверхности второго порядка......Page 257<br>6. Главные диаметры вещественных поверхностей второго порядка......Page 258<br>1. Касательная плоскость......Page 259<br>2. Линия пересечения поверхности с касательной плоскостью......Page 261<br>3. Прямолинейные образующие нераспадающейся поверхности второго порядка......Page 262<br>**5. Касательные плоскости к нераспадающемуся конусу второго порядка......Page 265<br>**б. Касательные плоскости и прямолинейные образующие неконической центральной поверхности второго порядка......Page 266<br>**7. Касательные плоскости и прямолинейные образующие параболоида......Page 267<br>**8. Касательные плоскости и прямолинейные образующие поверхности с прямою центров......Page 268<br>**9. Касательные плоскости и прямолинейные образующие поверхностей ранга 1......Page 269<br>10. Эллиптические, гиперболические и параболические точки вещественной поверхности второго порядка......Page 270<br>1. Приведенные уравнения поверхностей второго порядка......Page 273<br>2. Аффинная классификация комплексных поверхностей второго порядка в комплексном трехмерном пространстве......Page 275<br>3. Аффинная классификация вещественных поверхностей второго порядка в комплексном трехмерном пространстве......Page 276<br>ГЛАВА IX. Аналитическая геометрия на проективной плоскости......Page 280<br>1. Перспективная проекция и потребность в переходе к проективной плоскости......Page 281<br>2. Пополнение евклидовой плоскости несобственными элементами......Page 282<br>4. Инцидентность точек и прямых на проективной плоскости......Page 285<br>1. Определение и простейшие свойства проективного отображения......Page 286<br>2. Перспективная проекция, как проективное отображение......Page 288<br>3. Связь между проективными отображениями связки и аффинными отображениями евклидовой плоскости......Page 290<br>4. Первая основная теорема о проективном отображении......Page 291<br>5. Втооая основная теорема о проективном отображении......Page 293<br>6. Связь между проективными отображениями связки и аффинными преобразованиями пространства......Page 295<br>7. Группа проективных преобразований......Page 297<br>8. Проективные понятия и свойства......Page 298<br>9. Группа аффинных преобразований евклидовой плоскости, как подгруппа группы проективных преобразований проективной плоскости......Page 299<br>1. Аффинный инвариант прямолинейной тройки точек евклидовой плоскости......Page 300<br>3. Проективный инвариант четверки компланарных прямых связки......Page 301<br>5. Проективный инвариант прямолинейной четверки точек и четверки прямых проективной плоскости, принадлежащих одному пучку......Page 304<br>6. Двойное отношение четверки собственных точек прямой......Page 307<br>7. Двойное отношение четверки прямых собственного пучка......Page 309<br>8. Проективные отношения порядка на прямой и в пучке......Page 311<br>9. Гармоническое разделение......Page 313<br>1. Коррелятивное преобразование......Page 314<br>2. Принцип двойственности......Page 317<br>**3. Теорема Паппа......Page 318<br>1. Проективные координаты в связке прямых......Page 320<br>2. Проективные координаты на евклидовой плоскости, пополненной несобственными элементами......Page 321<br>**3. Трилинейные координаты......Page 322<br>5. Базисные точки системы проективных координат......Page 324<br>6. Однородные координаты......Page 325<br>7. Неоднородные проективные координаты......Page 327<br>1. Формулы преобразования однородных проективных координат......Page 330<br>3. Формулы проективного преобразования......Page 331<br>1. Линия, выражаемая уравнением в проективных координатах......Page 332<br>4. Алгебраические линии......Page 333<br>1. Уравнение прямой в проективных координатах......Page 334<br>3. Параметрические уравнения прямой на проективной плоскости......Page 335<br>**4. Однородные и неоднородная проективные координаты на прямой......Page 336<br>1. Связь между проективной классификацией линий на проективной плоскости и аффинной классификацией конических поверхностей в пространстве......Page 338<br>2. Аффинная классификация тройничных квадратичных форм......Page 339<br>3. Пять проективных классов линий второго порядка на проективной плоскости......Page 341<br>1. Овальные линии второго порядка на евклидовой плоскости, пополненной несобственными элементами......Page 343<br>2. Одиннадцать аффинно-проективных классов линий второго порядка на евклидовой плоскости, пополненной несобственными элементами......Page 344<br>1. Пересечение овальной линии второго порядка прямыми......Page 347<br>2. Внутренние и внешние точки относительно овальной линии второго порядка......Page 348<br>1. Диаметры и диаметральные плоскости конуса второго порядка......Page 350<br>2. Поляритет связки относительно конуса второго порядка......Page 351<br>3. Полюсы и поляры относительно овальной линии второго порядка......Page 353<br>4. Поляритет проективной плоскости......Page 354<br>5. Построение поляры проведением касательных......Page 355<br>6. Основное геометрическое свойство поляры......Page 356<br>**7. Построение поляры посредством построений четвертых гармонических......Page 358<br>1. Проективные отображения проективной прямой и пучка проективных прямых......Page 359<br>2. Перспективное соответствие прямых и пучков......Page 361<br>3. Порождение овальной линии второго порядка проективным, но не перспективным соответствием двух пучков......Page 362<br>5. Теорема Паскаля......Page 366<br>6. Теорема Брианшона......Page 368<br>1. Классы пропорциональных троек и пар чисел......Page 369<br>2. Проективная плоскость......Page 371<br>4. Координаты прямой......Page 372<br>5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Условие прямолинейного расположения трех точек......Page 373<br>6. Проективная плоскость, как связка прямых и плоскостей евклидова пространства......Page 374<br>7. Однородные декартовы координаты на евклидовой плоскости. Проективная плоскость, как евклидова плоскость, пополненная несобственными точками......Page 375<br>8. Общее понятие проективной плоскости......Page 378<br>1. Коррелятивное преобразование......Page 379<br>3. Теорема Дезарга......Page 380<br>4. Пучок прямых, как образ, взаимный к прямолинейному ряду точек......Page 382<br>1. Проективные координаты......Page 383<br>2. Базисные точки системы проективных координат......Page 385<br>3. Формулы преобразования проективных координат......Page 387<br>**4. Трилинейные координаты......Page 389<br>5. Уравнение прямой в произвольных проективных координатах......Page 391<br>6. Неоднородные проективные координаты......Page 392<br>1. Определение и основные свойства проективного преобразования......Page 393<br>3. Формулы проективного преобразования......Page 395<br>4. Группа проективных преобразований проективной плоскости......Page 396<br>5. Группа аффинных преобразований евклидовой плоскости, как подгруппа группы проективных преобразований проективной плоскости......Page 398<br>1. Параметрические уравнения прямой......Page 399<br>2. Проективные координаты на прямой......Page 400<br>3. Неоднородная проективная координата на прямой......Page 402<br>4. Однородные декартовы координаты на собственной прямой......Page 403<br>5. Формулы преобразования проективных координат на прямой......Page 404<br>**6. Проективные координаты в пучке прямых......Page 405<br>1. Проективное отображение прямой......Page 406<br>2. Формулы проективного преобразования прямой......Page 408<br>**3. Проективные преобразования первого и второго рода......Page 409<br>1. Двойное отношение упорядоченной прямолинейной четверки точек......Page 410<br>2. Двойное отношение четверки точек в проективных координатах на прямой......Page 411<br>3. Двойное отношение прямолинейной четверки собственных точек......Page 412<br>**5. Двойное отношение четверки прямых собственного пучка......Page 413<br>**6. Расширение принципа двойственности......Page 414<br>**7. Сохранение двойного отношения при перспективном соответствии прямолинейного ряда точек и пучка прямых......Page 415<br>8. Гармонические четверки......Page 416<br>§ 200. Комплексная проективная плоскость......Page 417<br>Раздел IV. Линии второго порядка на проективной плоскости......Page 419<br>§ 201. Связь между линиями второго порядка комплексной евклидовой плоскости и комплексной проективной плоскости......Page 420<br>1. Общие точки линии второго порядка и прямой......Page 422<br>2. Распадающиеся линии второго порядка......Page 424<br>1. Двойная точка линии второго порядка......Page 426<br>§ 204. Касательная к линии второго порядка......Page 428<br>1. Гармоническая сопряженность точек относительно линии второго порядка......Page 430<br>2. Полюс и поляра......Page 432<br>3. Диаметры, как поляры несобственных точек......Page 433<br>5. Основные свойства поляр......Page 434<br>6. Полюсы и поляры относительно нераспадающейся линии второго порядка......Page 435<br>**8. Внешние и внутренние точки относительно нераспадающейся вещественной линии второго порядка......Page 436<br>**9. Полюсы и поляры распадающейся линии второго порядка......Page 437<br>10. Автополярный треугольник......Page 438<br>1. Уравнение линии второго порядка относительно автополярного основного координатного треугольника......Page 439<br>2. Проективная классификация комплексных линий второго порядка......Page 440<br>3. Проективная классификация вещественных линий второго порядка......Page 441<br>**4. Уравнения, выражающие одну и ту же линию второго порядка в фиксированной системе координат......Page 443<br>1. Аффинно-проективная классификация вещественных линий второго порядка......Page 445<br>2. Аффинная классификация линий второго порядка на евклидовой плоскости......Page 450<br>**3. Аффинно-проективная классификация комплексных линий второго порядка......Page 451<br>**4. Аффинная классификация комплексных линий второго порядка на комплексной евклидовой плоскости......Page 452<br>1. Классы пропорциональных четверок чисел......Page 453<br>2. Проективное пространство......Page 454<br>3. Ранг матрицы и число линейно независимых решений системы однородных линейных уравнений......Page 455<br>4. Условие прямолинейного расположения трех точек......Page 456<br>5. Взаимное расположение плоскости и прямой......Page 457<br>7. Условие компланарности четырех точек......Page 458<br>9. Параметрические уравнения плоскости......Page 459<br>10. Взаимное расположение двух прямых......Page 461<br>11. Однородные декартовы координаты в евклидовом пространстве. Проективное пространство, как евклидово пространство, пополненное несобственными точками......Page 462<br>1. Проективные координаты в проективном пространстве......Page 466<br>2. Базисные точки системы проективных координат......Page 467<br>3. Формулы преобразования проективных координат......Page 468<br>5. Проективные координаты на плоскости и на прямой......Page 469<br>1. Определение и основные свойства проективного преобразования проективного пространства......Page 471<br>3. Группа проективных преобразований проективного пространства......Page 472<br>**5. Перспективное соответствие прямых в проективном пространстве......Page 473<br>§ 211. Комплексное проективное пространство......Page 474<br>§ 212. Связь между поверхностями второго порядка комплексного евклидова пространства и комплексного проективного пространства......Page 476<br>1. Общие точки поверхности второго порядка и плоскости. Распадающиеся поверхности второго порядка......Page 478<br>2. Общие точки поверхности второго порядка и прямой......Page 479<br>1. Двойная точка поверхности второго порядка......Page 481<br>3. Конические поверхности второго порядка......Page 482<br>1. Касательная плоскость......Page 483<br>2. Линия пересечения поверхности второго порядка с касательной плоскостью......Page 485<br>4. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка......Page 487<br>1. Гармоническая сопряжённость точек относительно поверхности второго порядка......Page 489<br>2. Полюс и полярная плоскость......Page 490<br>4. Основные свойства полярных плоскостей......Page 491<br>6. Касательный конус......Page 492<br>7. Автополярный тетраэдр......Page 494<br>1. Уравнение поверхности второго порядка относительно автополярного основного координатного тетраэдра......Page 495<br>2. Проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка......Page 496<br>3. Проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка......Page 497<br>**4. Уравнения, выражающие одну и ту же поверхность второго порядка в фиксированной системе координат......Page 499<br>1. Аффинно-проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка......Page 500<br>2. Аффинная классификация поверхностей второго порядка в евклидовом пространстве......Page 507<br>**4. Аффинная классификация комплексных поверхностей второго порядка в комплексном евклидовом пространстве......Page 508<br>Алфавитный указатель......Page 510<br>Таблица "Для определения вида поверхности, заданной уравнением второго порядка с тремя переменными в прямоугольных координатах"......Page 517<br>