Пособие состоит из восьми глав и содержит развёрнутое изложение курса лекций, читаемых автором студентам первого курса МФТИ. Разобрано большое количество примеров, иллюстрирующих теоретический материал. К каждой главе приложен список упражнений для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов физико-математических и инженернофизических специальностей, изучающих математический анализ, а также для преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу.
Author(s): А. Ю. Петрович
Edition: 2
Publisher: МФТИ
Year: 2017
Language: Russian
Commentary: Ч. I. Введение в математический анализ
Pages: 276
City: М.
Оглавление
Предисловие .......................................................................... 6
Глава I. Действительные числа ....................................... 7
§ 1. Определение действительного числа по Дедекинду ... 7 §2. Ограниченные множества. Точные верхние и нижние
грани...................................................................................... 13
§3. Представление действительных чисел бесконечными
десятичными дробями......................................................... 18
§ 4. Арифметические операции с действительными числами 23
§5. Счётные и несчётные множества.......................................30
Упражнения к главе I.........................................................35
Глава II. Предел числовой последовательности .... 37
§1. Общее понятие функции. Числовые последовательности 37 §2. Определение и простейшие свойства предела
последовательности..............................................................39
§3. Монотонные последовательности. Теорема
Вейерштрасса.......................................................................49
§ 4. Теорема Кантора о вложенных отрезках ........................52
§5. Бесконечно большие последовательности........................55
§6. Односторонние пределы......................................................60
§ 7. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса . 61
§ 8. Критерий Коши сходимости последовательности .... 69
Упражнения к главе II.........................................................73
Глава III. Предел и непрерывность числовой
функции одной переменной ................................................ 77
§ 1. Определения предела по Гейне и по Коши.
Их эквивалентность ............................................................ 77
§ 2. Свойства предела функции................................................83
§3. Непрерывность функции в точке.......................................89
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Пределы монотонных функций..........................................93
§ 5. Свойства функций, непрерывных на промежутках ... 96
§ 6. Теорема об обратной функции..........................................104
§7. Тригонометрические функции ..........................................109
§8. Показательная функция и логарифмы ...........................117
§ 9. Сравнение функций ............................................................126
Упражнения к главе III......................................................130
Глава IV. Производная........................................................134
§ 1. Определение и основные свойства....................................134
§ 2. Производные элементарных функций..............................138
§ 3. Кривые, заданные параметрически .................................144
§ 4. Производная и дифференциал. Геометрический смысл . 146 § 5. Производные и дифференциалы высших порядков . . .150 § 6. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций . 156
§ 7. Формула Тейлора.................................................................162
Упражнения к главе IV......................................................173
Глава V. Применение производной в различных вопросах математического анализа.................................177
§ 1. Раскрытие неопределенностей при помощи формулы
Тейлора ................................................................................177
§ 2. Раскрытие неопределённостей по правилам Лопиталя . 180
§ 3. Доказательство неравенств................................................186
§ 4. Исследование монотонности и точек экстремума............187
§ 5. Выпуклость и точки перегиба.............................................193
§ 6. Построение графиков функций..........................................198
Упражнения к главе V.........................................................203
Глава VI. Элементы дифференциальной геометрии . 206
§1. Вектор-функции .................................................................206
§ 2. Кривые в пространстве ......................................................210
§3. Длина кривой.......................................................................217
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Дважды дифференцируемые гладкие кривые. Кривизна
кривой ................................................................................... 222
§ 5. Кривые с положительной кривизной. Сопровождающий
трёхгранник кривой............................................................226
§ 6. Центр кривизны и эволюта................................................229
Упражнения к главе VI......................................................232
Глава VII. Комплексные числа................................................234
§ 1. Определение комплексного числа и основные функции
комплексной переменной......................................................234
§ 2. Комплекснозначные функции действительной
переменной ..........................................................................243
§ 3. Многочлены..........................................................................245
§ 4. Разложение правильной дроби в сумму простейших
дробей ................................................................................... 250
Упражнения к главе VII......................................................254
Глава VIII. Неопределённый интеграл...............................256
§ 1. Первообразная и неопределённый интеграл.....................256
§ 2. Основные приёмы интегрирования....................................259
§ 3. Интегрирование рациональных дробей ...........................263
§ 4. Интегрирование некоторых иррациональных
и трансцендентных функций.............................................268
Упражнения к главе VIII...................................................272
Литература .......................................................................... 274
Предисловие
