Advanced Calculus

CONTENTS


PAGE
PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
V
Chapter I
THE REAL NUMBER SYSTEM
SECTION
101. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
. . . . . .
1
I 02. Axioms of a field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
1
103. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
3
I 04. Axioms of an ordered field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
5
105. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
6
106. Positive integers and mathematical induction . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I07. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
11
108. Integers and rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
13
I09. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
14
110. Geometrical representation and absolute value . . . . . . . . . . . . . .
. .
14
111. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
16
112. Axiom of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 7
113. Consequences of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
19
114. Exercises......................................................................................................20
Chapter 2FUNCTIONS, SEQUENCES, LIMITS, CONTINUITY
201. Functions and sequences..............................................................22
202. Limit of a sequence........................................................................26
203. Exercises.................................................................................................28
204. Limit theorems for sequences........................................................29
205. Exercises.................................................................................................33
206. Limits of functions..........................................................................34
207. Limit theorems for functions................................................38
208. Exercises.......................................................................................39
209. Continuity...............................................................................42
210. Types of discontinuity....................................................................44
IXx
CO N TE N TS
211. Continuity theorems...........................................................46
212. Exercises.............................................................................................46
213. More theorems on continuous functions.....................................47
214. Existence of v'2 and other roots...............................................48
215. Monotonic functions and their inverses.......................................49
216. Exercises..............................................................................................50
*217. A fundamental theorem on bounded sequences....................................53
*218. Proofs of some theorems on continuous functions................................54
*219. The Cauchy criterion for convergence of a sequence............................56
*220. Exercises.....................................................................................................57
*221. Sequential criteria for continuity and existence oflimits. .......................59
*222. The Cauchy criterion for functions........................................................60
*223. Exercises.....................................................................................................61
*224. Uniform continuity....................................................................................63
*225. Exercises.....................................................................................................65
Chapter 3
DIFFERENTIATION
301.
302.
303.
304.
305.
306.
307.
308.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.
319.
320.
*321.
*322.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The
. . . . derivative.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. One-sided
. . . . . . . . derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . theorem
. . . . . . and the Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . .
Rolle's
. . . . . .
Consequences
of the Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Extended
. . .
The
Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Maxima
. . . . . . and
. . . . minima
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentials
. . . . . . . . .
Approximations
by differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Rule.
. .
L'Hospital's
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . indeterminate
. . .
The
form 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. The
. . . indeterminate
. . . .
form oo/ oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Other
. . . . . indeterminate
.
forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . tracing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . loss
. . . . of . generality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Without
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Chapter 4
67
67
70
73
75
79
80
82
85
88
90
92
94
95
95
97
99
101
102
106
108
108
INTEGRATION
401. The definite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
402. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . integration
. . . . . . .
*403. . More
theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
*404. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Fundamental
. . . . . . .
405. The
Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
406. Integration by substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
110
117
120
125
127
128407. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
. . . . . . . . . . .C O NTE NTS xi
408. Sectional continuity and smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
409. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . formulas
. .
410. Reduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411. Exercises
. . . . . . . . integrals,
. . .
412. Improper
introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413. Improper
. . . . . . . integrals, finite interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . integrals, infinite interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
414. Improper
. . . . . .
415. . Comparison
tests. Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
416. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Riemann-Stieltjes
. . . . . . .
*417. The
integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*418. . Exercises
. . . . . . . . . . . . 131
133
133
135
136
136
139
140
143
146
151
Chapter 5
SOME ELEMENTARY FUNCTIONS
*501.
*502.
*503.
*504.
505.
506.
507.
508.
509.
*510.
*511.
*512.
The exponential and 1ogarithmic functions . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . trigonometric
. . . . . . . .
The
functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. Some
. . . . integration
. . . . . . . formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . functions
. .
Hyperbolic
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . hyperbolic
. .
Inverse
functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . of numbers and functions . . . . . . . . . . . . . . .
Classification
. . . . elementary
. . .
The
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
155
155
158
158
161
163
163
165
167
167
169
170
Chapter 6
FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES
601. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
602. Neigh borhoods in the Euclidean plane. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . sets
. . in the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
603. . Point
. . . . in
. . higher-dimensional
.
604. Sets
Euclidean spaces . . . . . . . . . . .
..
.
.
.
.
.
.
605. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
606. . Functions
. . . . . . . . and
. . . limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
607. Iterated limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
608. Continuity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . and
. . . . continuity theorems . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .
609. . Limit
. . . . theorems
. .
610. . More
on continuous functions . . . . . . . . . . . . . . .
611. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . general
. . . . . functions.
. .
612. . More
Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
*613. Sequences
of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . sets
. . . and
.
*614. Point
sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
*615. Compactness
and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*616. Proofs
. . . . . . of
. . two theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
. . . . . . . continuity
. .
*617. . Uniform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
173
174
178
179
181
184
186
187
188
189
190
193
195
196
198
198618. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199
. . . . . . . . . . . .C O N T E N TS
xii
Chapter 7
SOLID ANALYTIC GEOMETRY AND VECTORS
70i.
702.
703.
704.
705.
706.
707.
708.
709.
710.
711.
712.
713.
714.
715.
716.
717.
718.
719.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . and
. . . scalars
.
. . . . . . . and
. . subtraction of vectors. Magnitude . . . . . . . . . . .
Addition
. Linear
. .
combinations of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . angles
. . . . and cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Direction
. . . . scalar
. . . . or inner or dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The
. . . . . . . orthogonal to two vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planes
. Lines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . Sections,
. . .
Surfaces.
traces, intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spheres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cylinders
. . . . . . . . of
. . revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Surfaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . standard
. . . . . . . quadric
.
The
surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . .
Chapter 8
203
204
206
207
210
211
213
216
217
218
220
222
225
225
226
227
229
231
235
ARCS AND CURVES
801. Duhamel's principle for integrals...........................................................238
*802. A proof with continuity hypotheses.......................................................238
803. Arcs and curves.............................................................................................239
804. Arc length.......................................................................................................241
805. Integral form for arc length....................................................................242
*806. Remark concerning the trigonometric functions..................................247
807. Exercises..........................................................................................................247
808. Cylindrical and spherical coordinates....................................................249
809. Arc length in rectangular, cylindrical, and spherical coordinates .....251
810. Exercises...................................................................................................251
811. Curvature and radius of curvature in two dimensions.........................252
812. Circle of curvature..................................................................................254
*813. Evolutes and involutes ...............................................................................255
814. Exercises..........................................................................................................257
Chapter 9
PARTIAL DIFFERENTIATION
901.
902.
*903.
904.
905.
906.
907.
Partial derivatives..........................................................................................261
Partial derivatives of higher order.............................................................262
Equality of mixed partial derivatives.........................................................263
Exercises..........................................................................................................264
The fundamental increment formula......................................................266
Differentials....................................................................................................268
Change of variables. The chain rule...................................................269C ONTE NTS
*908. Homogeneous functions. Euler's theorem . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
909. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . derivatives.
. . . .
*910. Directional
Tangents and normals . . . . . . . . . . .
. . . .
*911. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Law
. . . of
. . the
. . Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
912. The
. . . . . .
913. Approximations
by differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
914. . Maxima
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
915. Exercises
. . . . . . . . . . . . of an implicit function . . . . . . . . . . . . . . . . .
916. Differentiation
. . . . . notational
.
917. . Some
pitfalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
918. Exercises
. . . . . . . . of
. . a . family
.
919. Envelope
of plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
920. Exercises
. . . . . functions
. . . . . defined implicitly. Jacobians . . . . . . . . . . . .
921. . Several
. . .
922. Coordinate
transformations. Inverse transformations. . . . . . .
.
.
.
923. Functional dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
924. Exercises
. . . . . . with
. . . one
. constraint. Two variables . . . . . . . . . . . . . .
925. . Extrema
. .
926. . Extrema
with one constraint. More than two variables . . . . . .
. .
927. Extrema
with more than one constraint . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
928. . Lagrange
multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
929. Exercises
. . . . . . . . . . . under
.
*930. Differentiation
the integral sign. Leibnitz's rule . . . . . . .
.
*931. . Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Implicit
. . . . . . Function
.
*932. The
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . theorem for inverse transformations . . . . . . . . . .
*933. . Existence
. . . . . .
*934. . Sufficiency
conditions for functional dependence . . . . . . . . . .
. . . . .
*935. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Chapter 1 0
MULTIPLE INTEGRALS
1001. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
1002. Double integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1003. Area
. . . . . . formulation
. . .
1004. . Second
of the double integral . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . and outer area. Criterion for area . . . . . . . . . . . . . . . .
*1005. Inner
.
. . . .
*l006. Theorems
on double integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . of
. . the second formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*l007. . Proof
1008. Iterated
. . . . . . . integrals,
. .
two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . of
. the Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . .
*1009. Proof
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1010. . Exercises
. . . . . integrals.
. . . . . . . Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1011. Triple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1012. . Exercises
. . . . . . integrals
. . . . . . in polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . .
1013. Double
. . . . . . . with double integrals in polar coordinates . . . . . . . .
1014. Volumes
.. .
1015. . Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . of . . a . plane
. . . ..
1016. . Mass
region of variable density .. . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
1017. Moments
and centroid of a plane region . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
1018. Exercises
. . . . . . integrals,
. . . . . . . cylindrical coordinates .. . . . . . . . . . . . .
1019. Triple
. . . . . integrals,
. . ..
1020. Triple
spherical coordinates . . . . . . . . ... . . . . . .
xiii
272
272
275
278
279
281
282
286
288
290
292
293
295
296
300
304
306
308
312
314
317
320
321
324
325
330
331
333
335
335
337
338
339
342
346
347
349
350
352
355
356
359
360
361
362
363
364
3651021. Mass, moments, and centroid of a space region . . . . . .... . 366
. . . . . .xiv
CONTE NTS
1022. Exercises...................................................................................................368
1023. Mass, moments, and centroid of an arc.................................................369
1024. Attraction..................................................................................................370
1025. Exercises...................................................................................................372
1026. Jacobians and transformations of multiple integrals..........................373
1027. General discussion...................................................................................375
1028. Exercises...................................................................................................379
Chapter 1 1
INFINITE SERIES OF CO NSTANTS
1101. Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
1102. Three elementary theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . necessary
. . . . . .
1103. A
condition for convergence . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . geometric
. . .
1104. The
series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1105. Positive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . series
.
. . . . integral
. . . . . . test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1106. The
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1107. . Exercises
. . . . . . . . . tests.
. .
1108. Comparison
Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . ratio
. .
1109. The
test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . root
. . . . test
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1110. The
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1111. . Exercises
. . . . refined
. . . . . . tests
.
*1112. . More
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
*1113. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . of . . arbitrary
. . . .
1114. Series
terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
1115. Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . and
.
1116. Absolute
conditional convergence . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1117. Exercises
. . . . . . . . and
. . . rearrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1118. . Groupings
. . . . . . . . subtraction, and multipJication of series . . . . . . .
1119. Addition,
. . . . . aids to computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*1120. . Some
1121. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Chapter 12
381
382
382
383
383
384
385
387
390
392
393
395
397
398
398
399
401
404
405
407
410
POWER SERIES
1201. Interval of convergence..........................................................................412
1202. Exercises...................................................................................................415
1203. Taylor series.............................................................................................416
1204. Taylor's formula with a remainder........................................................418
1205. Expansions of functions..........................................................................419
1206. Exercises...................................................................................................421
1207. Some Maclaurin series............................................................................421
1208. Elementary operations with power series.............................................425
1209. Substitution of power series...................................................................427
1210. Integration and differentiation of power series.....................................431
1211. Exercises...................................................................................................433
1212. Indeterminate expressions.......................................................................435
1213. Computations...........................................................................................435
1214. Exercises...................................................................................................438
1215. Taylor series, several variables...............................................................4381216. Exercises...................................................................................................440CON TE N TS
xv
*Chapter 1 3
UNIFORM CONVERGENCE AND LIMITS
*1301.
*1302.
*1303.
*1304.
*1305.
*1306.
*1307.
*1308.
*1309.
*1310.
*1311.
*1312.
*1313.
*1314.
*1315.
Uniform convergence of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Uniform
. . . . . . . convergence of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . and the Weierstrass M-test . . . . . . . . . . . . . . . .
Dominance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. Uniform
. . . . . . convergence
. . . . .
and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . convergence and integration . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uniform
. . . . . . . convergence and differentiation . . . . . . . . . . . . . .
Uniform
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . series.
. . . . . . Abel's
.
Power
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . of Abel's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proof
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . defined
. . . . by power series. Exercises . . . . . . . . . . . . . .
Functions
. Uniform
. .
limits of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . theorems
. .
Three
on uniform limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
*Chapter 1 4
441
444
445
446
448
449
451
453
455
456
457
458
459
460
461
IMPROPER INTEGRALS
*1401.
*1402.
*1403.
*1404.
*1405.
*1406.
*1407.
*1408.
*1409.
*1410.
*1411.
*1412.
*1413.
*1414.
*1415.
*1416.
*1417.
*1418.
*1419.
*1420.
Introduction. Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternating
Abel's test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... . . . . . . integrals.
. .
. . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Uniform
. . . . . . . convergence
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . and the Weierstrass M-test . . . . . . . . . . . . . . . .
Dominance
. . . . Cauchy
. . .
The
criterion and Abel's test for uniform convergence . . .
Three theorems on uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . .
. Evaluation
. . . . . .
of improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . gamma
. . . . . . function
. .
The
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . beta
. . . . function
.
The
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . products.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Infinite
. . . . . . . infinite
. .
Wallis's
product for 7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Euler's constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Stirling's
. . . . . . . formula
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .·,. s infinite product for l / I'(a) . . . . . . . . . . . . . . .
Weierstrass'
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . multiple
. . . .
Improper
integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . .
Chapter 1 5
463
464
466
467
469
471
473
475
478
480
482
484
486
488
489
490
491
493
493
495
COMPLEX VARIABLES
1501. Introduction..............................................................................................496
1502. Complex numbers....................................................................................496
1503. Embedding of the real numbers..............................................................497
1504. The number i .......................................................................................498
1505. Geometrical representation......................................................................498CO N TE N TS
xvi
1506.
1507.
1508.
1509.
1510.
1511.
1512.
1513.
1514.
*1515.
Polar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Conjugates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Roots
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Limits
. . . . . and
. . . continuity
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . and series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sequences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . . functions of a real variable . . . . . . . . . . . .
Complex-valued
. Exercises
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Fundamental
. . . . . . .
The
Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Chapter 1 6
499
501
502
503
506
507
509
509
513
515
FO URIER SERIES
1601.
1602.
1603.
1604.
1605.
1606.
1607.
1608.
1609.
1610.
1611.
1612.
*1613.
*1614.
*1615.
*1616.
*1617.
*1618.
*1619.
*1620.
*1621.
*1622.
*1623.
*1624.
1625.
1626.
1627.
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Linear
. . . . . function
. . . . . spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Periodic
. . . . . . functions.
.
The space R 2 7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Inner product. Orthogonality. Distance . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . squares. Fourier coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Least
. Fourier
. . . . series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . convergence
. . . . . . . . . theorem. The space S 2
A
Bessel's inequality. Parseval's equation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Cosine
. . . . series. Sine series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Other
. . . . . intervals
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . sums
Partial
. . . . of
. . Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . with one-sided limits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Functions
. . . . Riemann-Lebesgue
. . . .
The
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . of
. . . the convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proof
. Fejer's
. . . . . summability
.
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uniform
. . . . . . . . . s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weierstrass'
. . . . . . . of
. . trigonometric polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .
Density
. Some
. . . . . consequences
.
of density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Further
. . . . . . remarks
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . orthonormal
. . .
Other
systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . of
. . Fourier series. The vibrating string . . . . . . . . .
Applications
. A . heat conduction problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Chapter 1 7
7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
517
518
519
520
524
525
528
529
532
534
535
536
538
539
539
540
540
542
542
543
545
546
547
547
548
550
551
VECTOR ANALYSIS
1701. Introduction .................................................................................................554
1702. The vector or outer or cross product .......................................................554
1703. The triple scalar product. Orientation in space ..................................556
1704. The triple vector product ...........................................................................559
1705. Exercises...................................................................................................560
1706. Coordinate transformations..................................................................562
1707. Translations ...........................................................................................564.CO N TE N TS
1708.
1709.
1710.
1711.
1712.
1713.
1714.
1715.
*1716.
*1717.
*1718.
*1719.
Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Scalar
. . . . and
. . . vector
. . . . fields.
.
Vector functions . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Ordinary
derivatives of vector functions . . .. . . . . . . . . . . . .
. . . . gradient
. .
The
of a scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. The
. . . divergence
. . . .
and curl of a vector field . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Relations
. . . .
among vector operations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . ... . . of the coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . .
Independence
. Curvilinear
. . . . . . coordinates. Orthogonal coordinates . . . . . . . . . .
. . .
Vector
operations in orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . .
. Exercises
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
Chapter 1 8
xvii
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574
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578
580
582
LINE AND SURFACE INTEGRALS
1801. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
1802. Line integrals in the plane . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
1803. Independence
of path and exact differentials . . . . . . . . . . . .
. . . . .
1804. . Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Theorem
. . . . . . in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1805. Green's
. . . . . exactness
.
1806. . Local
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . and
. . multiply-connected regions . . . . . . . . . . . . . . .
1807. Simply-
. . . . . . .
1808. Equivalences
in simply-connected regions . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1809. . Exercises
.
. . . . . functions
. . . . . . of a complex variable. exercises . . . . . . . . .
*1810. Analytic
.
1811. . Surface
elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . surfaces
. .
1812. Smooth
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1813. Schwarz's
. . . . . . . area
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1814. Surface
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1815. Exercises
. . . . . . integrals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1816. . Surface
. . . . . . . . . smooth surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1817. Orientable
. . . . . . . . with edges and corners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1818. Surfaces
. . . . divergence
. . . .
1819. The
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1820. . Green's
. . . . . . . . . functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1821. Harmonic
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1822. Exercises
. . . . . . . . sectionally
. . .
1823. . Orientable
smooth surfaces . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1824. Stokes's
. . . . . . . . . of path. Scalar potential . . . . . . . . . . . . . . . . .
1825. Independence
. . . . . potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*1826. Vector
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1827. . Exercises
. . . . . . differential
. . . . .
*1828. Exterior
forms. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Chapter 19
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640
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643
DIFFERENTIAL GEOMETRY
1901. Introduction..........................................................................................646
1902. Curvature. Osculating plane . . . . . . . . . . . . . . .·...................646
1903. Applications to kinematics.......................................................................6491904. Torsion.
The Frenet formulas............................................................650xviii
C ONT E NTS
1905. Local behavior..........................................................................................653
1906. Exercises .............................................................................................................655
1907. Curves on a surface. First fundamental form...................................657
1908. Intersections of smooth surfaces ..............................................................659
1909. Plane sections. Meusnier's theorem.....................................................660
1910. Normal sections. Mean and total curvature......................................662
1911. Second fundamental form.....................................................................666
1912. Exercises...................................................................................................670
ANSWERS TO PROBLEMS ........................................................................................673
INDEX ...................................................................................................................... 693