Учебник — Тверь: Твер. гос. ун-т, 2013. — 480 с.
Данный учебник полностью охватывает материал курса
Основы теории моделей
. Он адресован, прежде всего, студентам старших курсов, изучающих указанный предмет или смежные с ним, а также всем, кто интересуется математической логикой.
Основы теории множеств. Аксиомы теории множеств. Наследственно конечные множества. Подмножества и декартовы произведения. Отношения и функции. Индуктивные множества, аксиомы выбора и регулярности. Упорядоченные множества. Частично упорядоченные множества. Решетки и булевы алгебры. Вполне упорядоченные множества. Ординалы. Определение и основные свойства. Трансфинитные построения. Арифметика ординалов. Мощность множеств. Кардиналы. Арифметика кардиналов. Иерархии кардиналов, конфинальность. Теорема Рамсея и однородные множества. Последовательности, слова и деревья.
Синтаксис и семантика логики предикатов. Сигнатуры. Формулы логики предикатов. Алгебраические системы. Семантика. Формализация, непротиворечивость. Аксиомы и правила вывода. Непротиворечивость исчисления предикатов. Выводимость в исчислении предикатов. Модели множеств. Множества Хинтикки. Основная конструкция. Непротиворечивые множества. Интерполяционная теорема.
Теории. Основные обозначения. Определения и основные свойства. Аксиоматизация. Расширения теорий. Полные теории, конечные модели и категоричность. Определимость в теориях. Элиминация кванторов. Модели теорий. Элементарная эквивалентность. Подсистемы и расширения. Вложения и диаграммы. Устойчивость относительно надсистем и подсистем. Скулемовские функции. Модельная полнота. Цепи и их приложения. Цепи и элементарные цепи. Индуктивные теории. Вынуждение. Гомоморфизмы. Ультрапроизведения. Прямые произведения. Фильтрованые произведения. Конструкция и основная теорема. Ультрастепенные расширения. Полные расширения. Хорновские классы и многообразия.
Типы. Определение и простейшие свойства. Реализация и опускание типов. Алгебра Линденбаума. Элементарные отображения и однородность. Атомные и насыщенные системы. Атомные системы. Неразличимые множества. Универсальность. Насыщенность. Специальные системы. Стабильность счетных теорий. Стабильность. Стабильность в несчетных мощностях. Несчетная категоричность. Ранг Морли. Отклонение и независимость.
