Rechenmethoden fur Studierende der Physik im ersten Jahr

Cover......Page 1
Rechenmethoden für
Studierende der Physik
im ersten Jahr......Page 3
ISBN 9783827424556......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1.1 Richtung und Betrag......Page 15
1.1.2 Normierung......Page 17
1.1.3 Einfache Rechenoperationen......Page 18
1.1.4 Masse und Schwerpunkt......Page 21
1.1.6 Geometrie mit Vektoren......Page 22
1.1.7 Statik......Page 25
1.2 Skalarprodukt......Page 28
1.2.1 Skalarprodukt und Projektion......Page 29
1.2.2 Folgerungen aus dem Skalarprodukt......Page 30
1.2.3 Skalarprodukt in Komponenten......Page 32
1.2.4 Weitere Rechenregeln......Page 33
1.2.5 Parallel-Senkrecht-Zerlegung......Page 34
1.2.6 Skalarprodukte in der Physik......Page 36
1.3.1 Definition des Kreuzprodukts......Page 37
1.3.2 Folgerungen und Rechenregeln......Page 38
1.3.3 Kreuzprodukt in Komponenten......Page 39
1.3.4 Doppelte Produkte......Page 41
1.3.5 Lorentz-Kraft......Page 44
1.4.1 Gerade......Page 46
1.4.2 Ebenengleichung......Page 47
1.4.3 Kreisund Kugelgleichung......Page 49
1.5.1 Orientierung......Page 51
1.5.2 Orthonormalbasis......Page 52
1.5.3 Koordinatensysteme......Page 53
2.1.1 Matrixbegriff......Page 59
2.1.2 Grundlegende Rechengesetze......Page 60
2.1.3 Die Determinante......Page 65
2.1.4 Inverse einer Matrix......Page 69
2.1.5 Weitere Matrixoperationen......Page 70
2.2.1 Was ist ein lineares Gleichungssystem?......Page 75
2.2.2 Gauß-Algorithmus......Page 76
2.2.3 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme......Page 78
2.2.4 Matrizengleichungen......Page 80
2.3.1 Abbildungsmatrix......Page 82
2.3.2 Spiegelungen......Page 84
2.3.3 Drehungen......Page 85
2.3.4 Allgemeine Drehmatrix......Page 89
2.3.5 Basiswechsel = Drehung des Koordinatensystems......Page 91
2.4.1 Eigenwertproblem......Page 93
2.4.2 Diagonalisierung......Page 94
2.4.3 Quadriken......Page 97
2.4.4 Hauptachsentransformation......Page 99
3.1 Einstein’sche Summenkonvention......Page 105
3.2.1 Skalarprodukt in Indizes......Page 107
3.2.3 Rechenregeln für das Kronecker-Symbol......Page 108
3.2.4 Interpretation des Kronecker-Symbols......Page 110
3.3.1 Zyklische und antizyklische Permutationen......Page 111
3.3.2 Das Levi-Civita-Symbol......Page 112
3.3.3 Spatprodukt und Kreuzprodukt in Kurzform......Page 113
3.4 Produkte mit Kronecker und Levi-Civita......Page 115
3.5.1 Beweis der bac-cab-Formel......Page 117
3.5.2 Matrizenrechnung in Kurzform......Page 118
3.5.3 Tensoren......Page 120
4.1.1 Begriff der Ableitung......Page 123
4.1.2 Ableitungsregeln......Page 127
4.1.3 Kurvendiskussion light......Page 132
4.2.1 Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher......Page 138
4.2.2 Partielle Ableitung und Gradient......Page 141
4.2.3 Lokale Extrema......Page 145
4.3.1 Taylor-Entwicklung in 1-D......Page 150
4.3.2 Hilfreiche Reihen......Page 151
4.3.3 e hoch Matrix......Page 153
4.3.4 Allgemeine Taylor-Entwicklung......Page 155
4.4 Ableitung vektorwertiger Funktionen......Page 157
4.4.1 Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante......Page 158
4.4.2 Kettenregel......Page 159
4.4.3 Totales Differenzial......Page 163
5.1.1 Integralbegriff......Page 167
5.1.2 Der Hauptsatz......Page 168
5.1.3 Einfache Integrationsregeln und -tricks......Page 171
5.2.1 Partielle Integration......Page 174
5.2.2 Integration durch Substitution......Page 175
5.2.3 Ableiten nach Parametern......Page 179
5.2.4 Partialbruchzerlegung......Page 180
5.3 Mehrfachintegration......Page 182
5.3.1 Flächenintegrale......Page 183
5.3.2 Volumenintegrale......Page 185
5.3.3 Integraltransformationssatz......Page 187
5.3.4 Masse und Schwerpunkt......Page 191
5.4.1 Delta-Distribution......Page 195
5.4.2 Der große Bruder:......Page 200
6.1 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung......Page 203
6.2.1 Geradlinig gleichförmige Bewegung......Page 206
6.2.2 Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung......Page 207
6.2.3 Kreisbewegung......Page 208
6.2.4 Zusammengesetzte Bewegungen......Page 210
6.3 Bogenlänge......Page 212
6.4 Geschwindigkeit in krummlinigen Koordinaten......Page 214
7.1.1 Was ist eine Differenzialgleichung (DGL)?......Page 217
7.1.2 Klassifikation und Terminologie......Page 218
7.2 Lösungsansätze......Page 219
7.3 Gekoppelte Differenzialgleichungen......Page 229
8.1.1 i-Gitt i-Gitt......Page 233
8.1.2 Rechenregeln......Page 234
8.1.3 Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten......Page 236
8.2.1 Euler-Formel......Page 237
8.2.2 Sinus und Kosinus......Page 239
8.3.1 Komplexe Exponentialreihe......Page 240
8.3.2 Harmonischer Oszillator......Page 241
9.1 Was ist ein Feld?......Page 243
9.2.1 Gradient, Divergenz und Rotation......Page 244
9.2.3 Noch mehr......Page 247
9.2.4 Ableiten in Indexschreibweise......Page 249
9.3.1 Bestimmung der Basisvektoren in neuen Koordinaten......Page 252
9.3.2 Tangentialvektoren und Oberflächenintegrale......Page 253
9.3.3 in krummlinigen Koordinaten......Page 255
9.4.1 Satz von Gauß......Page 259
9.4.2 Satz von Stokes, Kurvenintegral......Page 262
10.1 Die Idee......Page 265
10.2.2 Eigenschaften der Fourier-Reihe......Page 266
10.3 Fourier-Transformation......Page 269
10.3.1 Definition und Eigenschaften......Page 270
10.3.2 Spezielle Fourien......Page 271
10.3.3 Fourier-Trafo der Zeit......Page 272
10.3.4 3-Dund 4-D-Fourier-Transformation......Page 273
10.3.5 DGL-Lösung per Fourier......Page 274
11.1 Was ist eine partielle Differenzialgleichung?......Page 277
11.2.1 Laplace-Gleichung......Page 279
11.2.3 Poisson-Gleichung......Page 280
11.3 Kontinuitätsgleichung......Page 282
11.4.2 Formale Lösung der Diffusionsgleichung......Page 283
11.4.3 Diffusion im kugelsymmetrischen Fall......Page 285
11.4.4 Allgemeine Lösung......Page 286
11.5.1 Die Wellengleichung......Page 288
11.5.2 1-D-Wellengleichung......Page 289
11.5.3 Kugelsymmetrische Lösung......Page 292
11.5.4 Ebene Wellen sind einfachste Lösung der 3-D-Wellengleichung......Page 293
12.1 Grundbegriffe......Page 297
12.2.1 Newton’sche Axiome......Page 298
12.2.2 Newton’sche Bewegungsgleichung......Page 299
12.2.3 Wichtige mechanische Kräfte......Page 300
12.2.4 Konservative Kräfte, Zentralkräfte......Page 303
12.3.1 Energiesatz und Potenzial......Page 307
12.3.2 Impuls......Page 311
12.3.3 Arbeit......Page 314
12.3.4 Formale Lösung des 1-D-Energiesatzes......Page 318
12.4.1 Drehimpuls und Drehmoment......Page 320
12.4.2 Drehimpulserhaltung......Page 322
12.4.3 Inertialsystem und Scheinkräfte......Page 323
12.5.1 Bewegungen im Potenzial......Page 326
12.5.2 Symmetrien und Erhaltungsgrößen......Page 327
12.5.3 Effektives Potenzial......Page 329
12.6.1 Mathematisches Pendel......Page 331
12.6.2 Der harmonische Oszillator......Page 333
12.6.3 Exakte Schwingungsperiode in einem Potenzial......Page 336
12.6.4 Kleine Schwingungen im Potenzial......Page 337
12.6.5 Gekoppelte Schwingungen......Page 339
12.6.6 Schwingungen im mehrdimensionalen Potenzial......Page 343
12.7.1 Grundbegriffe......Page 346
12.7.2 Trägheitstensor und -moment......Page 347
12.7.3 Stabile Rotation......Page 349
13.1.1 Ladung......Page 353
13.1.2 Strom......Page 354
13.1.3 Kontinuitätsgleichung......Page 356
13.1.4 Ladung in E- und B-Feldern......Page 357
13.2.1 Interpretation der Maxwell-Gleichungen......Page 359
13.2.2 Andere Maßsysteme......Page 361
13.2.3 Integrale Maxwell-Gleichungen......Page 362
13.2.4 Kontinuitätsgleichung......Page 363
13.3.1 Gleichungen der Elektrostatik......Page 364
13.3.2 Lösung durch Ansatz......Page 365
13.3.3 Lösung per Skalarpotenzial......Page 366
13.4.2 Lösung durch Ansatz......Page 369
13.4.3 Lösung per Vektorpotenzial, Satz von Biot-Savart......Page 371
13.5.1 Homogene Wellengleichungen......Page 373
13.5.2 Ebene elektromagnetische Wellen......Page 376
13.5.3 Lösung der allgemeinen Maxwell-Gleichungen......Page 378
Anhang A Klausur „spielen“......Page 382
Literaturverzeichnis......Page 387
Index......Page 389