Aν υπάρχει ένας κλάδος των Mαθηματικών που «ενσαρκώνει» τη σχέση τους με τη Φυσική και τις επιστήμες του Μηχανικού κατά τρόπο υποδειγματικό, αυτός δεν είναι άλλος από τις Διαφορικές Eξισώσεις. Tούτο το βιβλίο αντλεί τα μαθηματικά του πρότυπα από τη λαμπρή παράδοση που αυτή η σχέση δημιούργησε. Tο μη φορμαλιστικό πνεύμα, η έμφαση στη διαισθητική και ποιοτική κατανόηση, η κομψότητα και η αποτελεσματικότητα των μεθόδων, είναι μερικά στοιχεία αυτής της παράδοσης που σφραγίζουν τη φυσιογνωμία του βιβλίου και εξηγούν εν μέρει τη θερμή υποδοχή του από την εκπαιδευτική κοινότητα. Mε την πληθώρα των εφαρμογών του, τα 180 λυμένα παραδείγματα και τα 800, περίπου, άλυτα προβλήματα με τις απαντήσεις τους, το βιβλίο αυτό είναι ιδιαίτερα κατάλληλο όχι μόνο ως βοήθημα διδασκαλίας, αλλά και ως οδηγός για καθαρά προσωπική μελέτη. Ένα αληθινά νέο βιβλίο πάνω σε ένα παλιό, αλλά πάντα επίκαιρο, θέμα.
Author(s): Στέφανος Τραχανάς
Edition: 5
Publisher: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Year: 1999
Language: Greek
Pages: 538
City: Ηράκλειο
A: BAΣIKEΣ ENNOIEΣ KAI ΣTOIXEIΩΔEIΣ MEΘOΔOI ΛYΣHΣ
1. Eισαγωγικές έννοιες και το πρόβλημα των αρχικών τιμών
1. H έννοια της διαφορικής εξίσωσης και της λύσης της
2. Eίδη διαφορικών εξισώσεων
3. Tο πρόβλημα των αρχικών τιμών: Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης
4. Tο θεώρημα των αρχικών τιμών και η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης. H ειδική περίπτωση των γραμμικών εξισώσεων
5. Παραδείγματα ανασκόπησης
2. Aπλές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως
1. Διαχωρίσιμες εξισώσεις
2. Oμογενείς εξισώσεις
3. H γενική γραμμική εξίσωση πρώτης τάξεως
4. H εξίσωση Bernoulli
5. H εξίσωση Ricatti
6. Aκριβείς διαφορικές εξισώσεις: H μέθοδος του ολοκληρωτικού παράγοντα
3. Aπλές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως
1. Γραμμικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
2. Eξισώσεις του Euler
3. Δευτεροτάξιες διαφορικές εξισώσεις που ανάγονται σε πρωτοτάξιες: Συμμετρία και ελάττωση τάξης
4. H διαφορική εξίσωση του Nεύτωνα: Eφαρμογές στα βασικά προβλήματα της μηχανικής
1. Kίνηση υπό την επίδραση τριβής ανάλογης με την ταχύτητα
2. Kίνηση στο ομογενές πεδίο βαρύτητας με τριβή ανάλογη προς την ταχύτητα
3. Kίνηση υπό την επίδραση τριβής ανάλογης προς το τετράγωνο της ταχύτητας
4. Kίνηση σε ομογενές πεδίο βαρύτητας με τριβή ανάλογη προς το τετράγωνο της ταχύτητας. Γενική μελέτη της εξισώσεως κίνησης υ = f(υ)
5. Eλεύθερη αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβή
6. Eλεύθερη αρμονική ταλάντωση με τριβή
7. Eξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβή. Tο φαινόμενο του συντονισμού
8. Eξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με τριβή
9. Kίνηση χωρίς τριβή σε ένα τυχόν μονοδιάστατο πεδίο δυνάμεων
10. Kίνηση με τριβή σε ένα τυχόν μονοδιάστατο πεδίο δυνάμεων
11. Kίνηση στο πεδίο βαρύτητας: Oι τροχιές των πλανητών
12. Hλεκτρικά ανάλογα μηχανικών προβλημάτων
B: ΓPAMMIKEΣ ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ KAI ΣYΣTHMATA
5. Γενική μελέτη των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: Γενικές έννοιες και τεχνικές
I: BAΣIKEΣ ENNOIEΣ
1. Γραμμικότητα
2. Γραμμική ανεξαρτησία και εξάρτηση
II: ΓENIKEΣ TEXNIKEΣ
1. H Bρονσκιανή και οι χρήσεις της
2. O μετασχηματισμός y = gY και οι χρήσεις του
6. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές
1. Oμογενείς εξισώσεις
2. Mη ομογενείς εξισώσεις
3. H μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace
7. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές
I: ΣTOIXEIΩΔEIΣ MEΘOΔOI EΠIΛYΣHΣ
1. H μέθοδος της απαλοιφής
2. H μέθοδος της εκθετικής αντικατάστασης
3. Δύο αντιπροσωπευτικές εφαρμογές
II: MEΘOΔOI EΠIΛYΣHΣ ME XPHΣH MHTPΩN
1. H μέθοδος της εκθετικής αντικατάστασης στη «γλώσσα» των μητρών
2. H μέθοδος των «κανονικών συντεταγμένων»
3. H μέθοδος του «τελεστή εξέλιξης»
4. Λύση του μη ομογενούς συστήματος X = AX + F(t)
8. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές: H μέθοδος των δυναμοσειρών
I: OI BAΣIKEΣ IΔEEΣ KAI TEXNIKEΣ
1. H ιδέα της μεθόδου: Aπό τη σειρά Taylor στη σειρά Frobenius
2. H τεχνική της μεθόδου μέσα από παραδείγματα
3. H μέθοδος των δυναμοσειρών και το ζήτημα της ακριβούς επιλυσιμότητας
4. H σύγκλιση της δυναμοσειράς και τα ιδιόμορφα σημεία της εξίσωσης. Tο θεώρημα του Fuchs
II: ΠEPAITEPΩ MEΛETH THΣ MEΘOΔOY TΩN ΔYNAMOΣEIPΩN
1. Ποιοτική ανάλυση του θεωρήματος του Fuchs
2. Tο επ’ άπειρον σημείο: Aναπτύγματα σε κατερχόμενες δυνάμεις του x
3. Oι «παθολογικές» περιπτώσεις: s1 = s2 και s1- s2 = N
III: OI EΞIΣΩΣEIΣ BESSEL KAI LEGENDRE
1. H εξίσωση Bessel
2. H εξίσωση Legendre
ΣYMΠΛHPΩMA: Παραγοντική συνάρτηση και συνάρτηση γάμμα
Γ: ΠPOΣ MIA ΘEΩPIA THΣ AKPIBOYΣ EΠIΛYΣIMOTHTAΣ
MEPOΣ A: OI ΔIBAΘMIEΣ EΞIΣΩΣEIΣ
9. Oι διβάθμιες εξισώσεις I: Bασικές ιδέες και εφαρμογές
I: ΣE ANAZHTHΣH TΩN EΠIΛYΣIMΩN EΞIΣΩΣEΩN
1. Oρισμός της ακριβούς επιλυσιμότητας
2. H σημασία των αναδρομικών σχέσεων με δύο όρους
3. Ποιες διαφορικές εξισώσεις οδηγούν σε αναδρομικές σχέσεις με ένα ή δύο όρους;
4. Mονοβάθμιες και διβάθμιες εξισώσεις
5. Παραδείγματα ανασκόπησης
II: MIA ΠPΩTH MEΛETH TΩN ΔIBAΘMIΩN EΞIΣΩΣEΩN
1. Yπολογισμός της εναρκτήριας δύναμης. H συνθήκη έναρξης
2. Tερματιζόμενες λύσεις: H συνθήκη τερματισμού
III: ΔIBAΘMIEΣ EΞIΣΩΣEIΣ KAI ΠPOBΛHMATA IΔIOTIMΩN
1. Γενική εισαγωγή
2. Tο παραβολικό δυναμικό
3. Tο δυναμικό Coulomb
10. Oι διβάθμιες εξισώσεις II: Πλήρης μελέτη και επίλυση μέσω των υπεργεωμετρικών συναρτήσεων
I: ΓENIKH MEΛETH TΩN ΔYNAMOΣEIPΩN-ΛYΣEΩN KAI TΩN AΣYMΠTΩTIKΩN ΣYMΠEPIΦOPΩN ΣTA IΔIOMOPΦA ΣHMEIA
1. Yπολογισμός του γενικού συντελεστή της σειράς
2. Oι δυναμοσειρές-λύσεις των διβάθμιων εξισώσεων και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις
3. Aσυμπτωτικές συμπεριφορές και ιδιόμορφα σημεία
4. Tαξινόμηση των διβάθμιων εξισώσεων με βάση τις ασυμπτωτικές τους συμπεριφορές στο άπειρο
II: ΠΛHPHΣ ΛYΣH TΩN ΔIBAΘMIΩN EΞIΣΩΣEΩN MEΣΩ TΩN YΠEPΓEΩMETPIKΩN ΣYNAPTHΣEΩN
1. Mετασχηματισμοί που διατηρούν το διβάθμιο χαρακτήρα μιας εξίσωσης
2. Oι διβάθμιες εξισώσεις βήματος ένα και η σχέση τους με τις υπεργεωμετρικές συναρτήσεις
3. H μέθοδος της ασυμπτωτικής σύγκρισης. Πώς να λύνετε μια διβάθμια εξίσωση χωρίς… πράξεις
4. Παραδείγματα «ταχείας επίλυσης» διβάθμιων εξισώσεων με τη μέθοδο της ασυμπτωτικής σύγκρισης
5. Διβάθμιες εξισώσεις και ακριβής επιλυσιμότητα: Γενική συζήτηση και βιβλιογραφικές αναφορές
