М.: Наука, 1966. – 648 с.Книга рассчитана на студентов университетов и педагогических институтов, научных работников, учителей и инженеров, интересующихся геометрией.
Книга предполагает знакомство с курсами аналитической геометрии и высшей алгебры, а также с основными понятиями теории групп (в объеме первых глав «Теории групп» А. г. Куроша). Дифференциально-геометрическая глава книги предполагает знакомство с курсом дифференциальной геометрии. Все понятия, связанные с тензорным анализом в книге, определяются, но для лучшего усвоения материала соответствующих разделов книги полезно предварительное знакомство с соответственными главами «Римановой геометрии и тензорного анализа» П. К. Рашевского.Векторы и аффинные операции над ними
Геометрия и числа
Пространство Евклида
Вещественные числа
Векторы
Обобщение понятия пространства
Векторы
Линейное пространство
Аксиомы сложения
Аксиомы умножения на число
Линейная зависимость и независимость векторов
Аксиома размерности
Модели линейного пространства
Координаты векторов
Сокращенное обозначение суммирования
Преобразование координат
Подпространства линейного пространства
Тензоры
Ковариантные векторы
Тензоры
Симметрические и кососимметрические тензоры
Линейные операторы
Векторные линейные функции
Матрицы
Линейные операторы
Сложение операторов
Умножение операторов
Действие операторов на ковариантные векторы
Операторное произведение векторов
Собственные векторы
Прямоугольные операторы
Аффинное пространство
Аксиомы аффинного пространства
Переносы
Аффинные координаты
Метрические операции над векторами
Евклидово пространство
Аксиомы евклидова пространства
Модели евклидова пространства
Расстояния между точками
Неравенство треугольника
Углы между векторами
Скалярное произведение в координатах
Ортогонализация
Прямоугольные координаты
Преобразование прямоугольных координат
Евклидовы тензоры
Метрический тензор
Поднятие и опускание индексов
Взаимный базис
Вычисление координат векторов
Ковариантные координаты векторов
Евклидовы операторы
Вычисление элементов матриц операторов
Операторное произведение векторов
Транспонированный оператор
Симметрический оператор
Кососимметрический оператор
Ортогональный оператор
Евклидовы прямоугольные операторы
Ориентированное пространство
Ориентация пространства
Косое произведение
Векторное произведение
Косое произведение в координатах
Векторное произведение в координатах
Связь косого произведения со скалярным
Связь векторного произведения со скалярным
Прямые и плоскости
Геометрия прямых линий
Прямые линии
Координатные уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Условие принадлежности трех точек одной прямой
Угол между прямыми
Расстояние от точки до прямой
Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую
Отражение от прямой
Взаимное расположение двух прямых
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр двух прямых
Геометрия плоскостей
Плоскости
Координатные уравнения плоскости
Уравнения m-плоскости по m + 1 точкам
Случай m = n - 1
Векторное уравнение плоскости
Координатное уравнение плоскости
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
Основная теорема о плоскости
Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам
Уравнение плоскости по n точкам
Условие принадлежности n + 1 точек одной плoскости
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Отражение от плоскости
Расстояние между параллельными плоскостями
Геометрия m-плоскостей
Уравнения m-плоскости
Операторные уравнения m-плоскости
Перпендикуляр, опущенный из точки на m-плоскость
Расстояние от точки до m-плоскости
Расстояние от точки до m-плоскости, другая форма
Отражение от m-плоскости
Отражение от m-плоскости, другая форма
Отражение от точки
Взаимное расположение двух непересекающихся плоскостей
Взаимное расположение двух пересекающихся плоскостей
Вычисление размерности пересечения или общего направления двух m-плоскостей
Общий перпендикуляр двух скрещивающихся m-плоскостей
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися m-плоскостями
Расстояние между параллельными m-плоскостями
Стационарные углы между двумя m-плоскостями
Изоклинные и вполне перпендикулярные m-плоскости
Размерность многообразия m-плоскостей
Движения и аффинные преобразования
Аффинные преобразования
Геометрические преобразования
Аффинные преобразования
Аффинные преобразования в координатах
Центроаффинные преобразования и переносы
Группа аффинных преобразований
Задание аффинного преобразования
Афинные преобразования первого и второго рода
Неподвижные точки и инвариантные направления
Преобразование родства
Гомотетия
Преобразование m-родства
Движения
Движения и конгруэнтность
Движения в координатах
Вращения и переносы
Группа движений
Задание движения
Движение первого и второго рода
Неподвижные точки и инвариантные направления
Мнимые векторы
Изотропные векторы
Канонический вид матрицы ортогонального оператора
Классификация вращений
Стационарные углы поворота
Паратактический поворот
Классификация движений
Представление движений в виде произведения отражений от плоскостей
Подобия
Подобия и подобные фигуры
Подобия в координатах
Группа подобий
Центр подобия
Группа гомотетий и переносов
Многогранники
Прямолинейные отрезки
Лучи и отрезки
Длина отрезка
Ориентированные отрезки
Отношение отрезков
Деление отрезка в данном отношении
Отношения отрезков при аффинных преобразованиях
Параллелепипеды
Полуплоскости и параллелепипеды
Грани параллелепипеда
Объемы
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем произвольного параллелепипеда
Ориентированные n-параллелепипеды
Аффинность n-параллелепипедов
Объемы произвольных кубируемых фигур
Симплексы
Симплексы
Грани симплекса
Объем симплекса
Ориентированные n-симплексы
Аффинность n-симплексов
Центр тяжести n-симплекса
Ортоцентрический n-симплекс
Многогранники нулевого рода
Многогранники
Призмы и пирамиды
Выпуклые многогранники
Многогранники нулевого рода
Теорема Эйлера
Правильные многогранники
Правильные многоугольники и 3-многогранники
Правильные n-многогранники
Центр правильного многогранника
Характеристический симплекс правильного многогранника
Классификация правильных n-многогранников
Правильный n-симплекс
Объем правильного n-симплекса
Правильный n-параллелепипед или n-куб
Взаимные правильные n-многогранники
Многогранник, взаимный с n-кубом
Правильные 4-многогранники
Симметрии правильныx многогранников
Правильные (n - 1)-соты
Сферы
Геометрия сфер
Сферы
Уравнение сферы в координатах
Сферы Аполлония
Уравнение сферы по n + 1 точкам
Сферы, описанные около многогранников
Условие того, что n + 2 точек лежат на одной сфере
Степень точки относительно сферы
Взаимное расположение сферы и прямой
Геометрический смысл степени точки относительно сферы
Взаимное расположение сферы и m-плоскости
Касательная плоскость к сфере
Сферы, вписанные в многогранник
Взаимное расположение двух сфер
Пучок сфер
Угол между сферами
Геометрия на сфере
Большие и малые окружности и m-сферы
Сферические расстояния
Сферическая теорема косинусов
Сферическая теорема синусов
Двойственная теорема косинусов
Площадь сферического треугольника
Координаты на сфере
Сферические координаты в пространстве
Элемент объема сферы
Элемент объема в сферических координатах
Объем сферы
Объем шара
Сферические симплексы
Сферические симплексы
Грани сферического симплекса
Многогранные углы сферического симплекса
Альтернированная сумма углов симплекса
Объем сферического симплекса
Автополярный симплекс
Геометрия m-сфер
Уравнения m-сфер
Взаимное расположение двух m-сфер
Квадрики
Общая теория квадрик
Уравнения квадрики
Взаимное расположение квадрики и прямой
Асимптотические направления
Центр симметрии
Диаметральные плоскости и сопряженные направления
Плоскости симметрии и главные направления
Касательная плоскость
Полярная плоскость и полюс
Взаимное расположение квадрики и m-плоскости
Классификация квадрик
Собственные векторы симметрического оператора
Приведение к центру
Приведение к главным направлениям
Приведение к взаимно сопряженным направлениям
Классификация центральных квадрик
Конусы
Эллипсоиды и гиперболоиды
Асимптотический конус
Плоские образующие гиперболоидов
Плоские образующие максимальной размерности
Параболоиды
Плоские образующие гиперболических параболоидов
Вырожденные квадрики
Обзор типов квадрик
Аффинные преобразования и движения квадрик
Аффинные преобразования квадрик
Аффинное преобразование как произведение аффинного преобразования с симметрическим оператором и движения
Аффинные преобразования, переводящие квадрику в себя
Эллиптические повороты
Гиперболические повороты
Параболические повороты
Движения квадрик и метрические инварианты уравнений квадрик
Инварианты при вращениях
Инварианты при переносах
Инварианты при произвольных движениях
Исследование уравнений квадрик при помощи метрических инвариантов
Скользящие векторы
Скользящие векторы в пространстве
Свободные и скользящие векторы
Эквивалентные системы скользящих вектopoв
Скользящие векторы на сфере
Теоремы о скользящих векторах
Эквивалентность систем скользящих векторов
Главный вектор и главный момент системы
Главный момент системы скользящих векторов на сфере
Главная ось системы
Геометрический смысл оператора главного момента
Собственные вeкторы кососимметрического оператора
Каноническая система векторов
Условие эквивалентности систем скользящих векторов
Проективные преобразования
Проективное пространство
Центральное проектирование
Проективное n-пространство
Проективные координаты точек
Двойное отношение четырех точек
Плоскости
Уравнение плоскости по n- точкам
Принцип двойственности
Двойное отношение двух точек и двух плоскостей
Проективные преобразования
Коллинеации
Группа коллинеаций
Задание коллинеации
Проективные преобразования прямой
Коллинеарное отображение n-пространств
Неподвижные точки коллинеаций
Корреляции
Конфигурационные теоремы
Конфигурации
Теорема Паппа
Двойственная тeoрeмa Паппа
Теорема Дезарга
Теорема о полном четырехстороннике
Теорема о полном четырехугольнике
Гомологии
Аффинные гомологии
Перспективное отображение плоскостей
Невырожденные m-гомологии
Инволюционные коллинеации
Геометрия m-плоскостей
Пересечение и сумма m-плоскости и l-плоскости
Проективные операторные координаты m-плоскости
Проективные преобразования в проективных операторных координатах
Размерность пересечения m-плоскостей в проективных операторных координатах
Проектирование на m-плоскость в направлении (n - m - 1)-плоскости
Отражение от m-пары
Двойное отношение двух m-пар
Трансверсали двух m-пар
Аффинные операторные координаты m-плоскостей
Проективные преобразования в аффинных операторных координатах
Размерность пересечения m-плоскостей в аффинных операторных координатах
Двойное отношение двух m-пар
Квадрики
Уравнения квадрики
Взаимное расположение квадрики и прямой
Касательная плоскость
Полярная плоскость и полюс
Полярное преобразование
Плоские образующие квадрик
Двойственность квадрик
Упрощение уравнений квадрик
Проективные свойства линий второго порядка и линейчатых квадрик
Теоремы Паскаля и Брианшона
Проективные преобразования квадрик
Инволюционные корреляции
Нулевые плоскости нуль-системы
Дифференцирование векторов
Дифференцирование по скалярному аргументу
Векторные функции скалярного аргумента
Дифференцирование и интегрирование векторных функций
Векторные дифференциальные уравнения
Касательная к линии
Соприкасающиеся m-плоскости
Сопровождающий базис
Длина дуги
Первая кривизна линии
Формулы Френе
(n - 1)-я кривизна линии
Натуральные уравнения линии
Операторные функции скалярного аргумента
Инфинитезимальные движения
Операторная запись формул Френе
Винтовые линии
Дифференцирование по векторному аргументу
Скалярные функции векторного аргумента
Векторные функции векторного аргумента
Векторные уравнения поверхностей
Касательная m-плоскость к m-поверхности
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Первая квадратичная форма поверхности
Элемент объема поверхности
Пересечение касательной плоскости с поверхностью
Кривизна линий на поверхности
Линейный оператор поверхности
Индикатриса Дюпена
Главные кривизны
Кривизны плоскости и сферы
n-ортогональные системы поверхностей
Полная кривизна поверхности
Формулы Гаусса и Вейнгартена
Абсолютное дифференцирование
Векторы и тензоры на поверхности
Абсолютное дифференцирование
Тензор кривизны
Определение поверхности ее квадратичными формами
Параллельный перенос
Геодезическая кривизна линии
Геодезические линии
Кривизна поверхности в 2-мерном направлении
Теорема Гаусса – Бонне
Римановы пространства и пространства аффинной связности
Конформные преобразования
Конформное пространство и конформные преобразования
Конформные преобразования
Теорема Лиувилля
Инверсия относительно сферы
Конформное пространство
Стереографическая проекция
Конформные преобразования как произведения инверсий
Проективная интерпретация конформного пространства
Угол между сферами
Группа конформных преобразований
Геометрия m-сфер
Операторное уравнение m-сферы
Стационарные углы между m-сферами
Применение комплексных чисел и кватернионов
Алгебры
Комплексные числа и кватернионы
Плоскость комплексного переменного и пространство кватернионов
Переносы и гомотетии
Повороты
Движения и подобия 2-плоскости
Движения и подобия 4-пространства
Движения 3-пространства
Спинорное представление вращений 3-пространства
Спинорное представление вращений 4-пространства
Инверсии относительно окружностей и сфер
Круговые преобразования 2-плоскости и конформные преобразования 4-пространства
Двойное отношение четырех комплексных чисел или кватернионов
Пространство и время
Пространство - время и псевдоевклидовы пространства
Пространство - время классической механики
Пространство - время специальной теории относительности
Аксиомы псевдоевклидовых пространств
Закон инерции
Модели псевдоевклидовых пространств
Расстояния между точками
Изотропный конус
Сферы
Углы между векторами
Теорема косинусов
Интерпретация многообразия евклидовых сфер на псевдоевклидовой сфере
Интерпретация многообразия евклидовых сфер в псевдоевклидовом пространстве
Прямоугольные координаты
Прямые и плоскости
Псевдоевклидовы движения
Движения и конгруэнтность
Вращения и переносы
Группа движений
Канонический вид матрицы псевдоортогонального оператора
Антидвижения
Подобия и антиподобия
Конформные преобразования и псевдоконформное пространство
Конформные преобразования
Инверсия относительно сферы
Псевдоконформное пространство
Стереографическая проекция
Интерпретация многообразия псевдоевклидовых сфер на псевдоевклидовой сфере
Геометрия m-сфер
Применение двойных чисел и антикватернионов
Двойные числа и антикватернионы
Плоскость двойного переменного и пространство антинватернионов
Повороты и антиповороты
Движения, антидвижения, подобия и антиподобия
Круговые преобразования 2-плоскости и конформные преобразования 4-пространства
Двойное отношение четырех двойных чисел или антикватернионов
Сопряженные пары точек 2-плоскости
Конформные преобразования псевдоевклидовой 2-плоскости
Спинорные представления вращений 3-пространства
Спинорные представления вращений 4-пространства
Интерпретация многообразия прямых проективного 3-пространства в псевдоконформном 4-пространстве
Геометрия и физика
Псевдоримановы пространства
Неевклидовы пространства
Сложение скоростей в специальной теории относительности
Плоская электромагнитная волна в специальной теории относительности
Спинорное представление группы Лоренца и спин электрона
Пространство - время общей теории относительности
Квантовая физика и геометрия
Примечания
Библиография
