Traité de mathématiques spéciales

Le Traité de mathématiques spéciales de Cagnac, Ramis et Commeau était destiné aux élèves des deux années de classes préparatoires ainsi qu’aux élèves du premier cycle des Facultés. Son contenu est conforme aux programmes du 21 janvier 1963 et du 25 mars 1964 pour les classes préparatoires et du 30 juin 1966 pour le premier cycle des Facultés. Le tome I (Algèbre) comprend essentiellement l’étude des structures algébriques, du corps des rationnels et du corps des complexes, des polynômes, fractions rationnelles et équations algébriques, enfin de l’algèbre linéaire. La fin du cours d’Algèbre (formes quadratiques, hermitiennes,…) a été reportée au début du tome III. Le tome II (Analyse) contient d’une part l’étude des fonctions réelles ou complexes d’une ou de plusieurs variables réelles, d’autre part celle de la partie théorique du programme de calcul différentiel et intégral. Un premier chapitre est consacré à une introduction du corps des réels; un dernier chapitre rassemble ce que les élèves ont à savoir sur les calculs numériques en vue des travaux pratiques. Deux appendices, conformes au programme MP des Facultés, contiennent l’un, des notions de Topologie, l’autre une initiation aux fonctions holomorphes. Le tome III (Géométrie) comprend deux parties. L’une est consacrée à des compléments d’Algèbre qui forment une suite naturelle du tome I, et à une introduction axiomatique de la Géométrie; l’autre, plus pratique, étudie les diverses générations et les représentations analytiques usuelles des courbes et des surfaces élémentaires. Le tome IV (Applications de l’Analyse à la Géométrie) contient la géométrie différentielle, les intégrales multiples, les calculs de longueurs, aires, volumes, etc., l’analyse vectorielle et les applications géométriques des équations différentielles. Table des matières du tome I : Chapitre I. — Définitions générales        I. Notions de logique       II. Ensembles      III. Relations binaires       IV. Applications. Équations        V. Lois de composition       VI. Les entiers naturels Chapitre II. — Groupes. Anneaux. Corps        I. Structure de groupe       II. Les entiers relatifs. Les nombres rationnels      III. Structures d’anneau et de corps Chapitre III. — Analyse combinatoire        I. Arrangements. Permutations       II. Substitutions      III. Combinaisons. Formule du binôme Chapitre IV. — Notions élémentaires sur les vecteurs        I. Rappel des définitions       II. Opérations élémentaires sur les vecteurs libres      III. Espaces vectoriels. Espaces ponctuels       IV. Barycentre Chapitre V. — Nombres complexes        I. Définition. Opérations       II. Forme trigonométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique      III. Racines n-ièmes d’un nombre complexe       IV. Applications géométriques des nombres complexes        V. Compléments de calcul trigonométrique Chapitre VI. — Polynômes        I. Fonctions polynômes       II. Introduction des polynômes à une indéterminée      III. Division euclidienne       IV. Division suivant les puissances croissantes        V. Plus grand commun diviseur       VI. Polynômes irréductibles sur le corps K      VII. Introduction des polynômes à plusieurs indéterminées     VIII. Dérivation. Formule de Taylor       IX. Réduction des polynômes sur les corps C et R Chapitre VII. — Fractions rationnelles        I. Décomposition en éléments simples       II. Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle sur le corps des complexes et sur celui des réels Chapitre VIII. — Équations algébriques        I. Élimination       II. Relations entre les coefficients et les zéros d’un polynôme      III. Polynômes symétriques       IV. Transformation des équations        V. Équations de la division des arcs Chapitre IX. — Algèbre linéaire du second et du troisième ordres        I. Algèbre linéaire du second ordre       II. Algèbre linéaire du troisième ordre      III. Systèmes de deux ou trois équations linéaires à deux ou trois inconnues Chapitre X. — Espaces vectoriels        I. Définition. Sous-espaces vectoriels       II. Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre XI. — Applications linéaires        I. Définitions. Opérations       II. Image. Noyau. Rang Chapitre XII. — Matrices        I. Représentation de vecteurs et d’applications linéaires       II. Opérations sur les matrices Chapitre XIII. — Formes linéaires, bilinéaires        I. Formes linéaires       II. Applications multilinéaires. Formes bilinéaires Chapitre XIV. — Déterminants        I. Forme n-linéaire alternée       II. Propriétés des déterminants      III. Indépendance de n vecteurs à l’aide des déterminants       IV. Détermination pratique du rang à l’aide des déterminants Chapitre XV. — Équations linéaires        I. Généralités       II. Système de Cramer      III. Cas général : n équations linéaires à p inconnues Chapitre XVI. — Endomorphismes d’un espace vectoriel. Matrices carrées        I. Endomorphismes d’un espace vectoriel       II. Matrices carrées      III. Matrices équivalentes, semblables, congruentes       IV. Diagonalisation. Triangularisation