Разностные схемы

Предисловие ......Page 9
Предисловие ко второму изданию ......Page 10
Введение ......Page 11
1. Разностные уравнения ......Page 15
3. Общее решение разностного уравнения ......Page 18
Задачи ......Page 20
1. Фундаментальное решение ......Page 21
2. Условна ограниченности фундаментального решения ......Page 22
3. Частное решение ......Page 23
§ 3. Разностное уравнение второго порядка ......Page 25
1. Общее решение однородного уравнения ......Page 26
2. Общее решение неоднородного уравнения. Фундаментальное решение ......Page 29
3. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения ......Page 34
Задачи ......Page 36
1. Постановка задачи ......Page 38
2. Определение хорошей обусловленности ......Page 39
3. Достаточный признак хорошей обусловленности ......Page 40
5. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами ......Page 42
6. Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами ......Page 44
7. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений ......Page 48
Задачи ......Page 50
1. Описание прогонки ......Page 51
2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма ......Page 53
Задачи ......Page 55
1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэффициентами ......Page 56
2. Доказательство критерия хорошей обусловленности ......Page 60
3. Свойства хорошо обусловленных задач ......Page 64
1. Оценки прогоночных коэффициентов ......Page 65
2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений ......Page 67
1. Порядок точности разностной схемы ......Page 71
2. Скорость сходимости решения разностного уравнения ......Page 75
3. Порядок аппроксимации ......Page 77
2. Пример неустойчивой разностной схемы ......Page 78
1. Понятие о сетке и сеточной функции ......Page 82
2. Сходящиеся разностные схемы ......Page 87
3. Проверка сходимости разностной схемы ......Page 90
1. Невязка ......Page 92
2. Вычисление невязки ......Page 94
3. Аппроксимация к порядка ......Page 96
4. Примеры ......Page 97
5. Разбиение разностной схемы на подсистемы ......Page 100
6. Замена производных разностными отношениями ......Page 103
7. Другие способы построения разностных схем ......Page 105
1. Определение устойчивости ......Page 106
2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью ......Page 108
3. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения ......Page 114
§ 13. О выборе норм ......Page 115
§ 14. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Коши ......Page 123
1. Вводный пример ......Page 124
2. Каноническая запись разностной схемы ......Page 125
3. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода ......Page 127
4. Примеры исследования устойчивости ......Page 128
5. Неединственность канонической записи ......Page 133
1. Ограниченность норм степеней оператора перехода необходима для устойчивости ......Page 136
2. Спектральный признак устойчивости ......Page 138
3. Обсуждение спектрального признака устойчивости ......Page 139
Задачи ......Page 143
1. Ошибки в коэффициентах ......Page 144
2. Ошибки в вычислениях ......Page 147
§ 17. Количественная характеристика устойчивости ......Page 149
§ 18. Прием исследования устойчивости нелинейных задач ......Page 155
§ 19. Схемы Рунге — Кутта и Адамса ......Page 157
1. Схемы Рунге—Кутта ......Page 158
2. Схемы Адамса ......Page 160
3. Замечания об устойчивости ......Page 163
4. Обобщение на системы уравнений ......Page 164
2. Метод прогонки ......Page 166
3. Метод Ньютона ......Page 169
1. Определение сходимости ......Page 171
2. Определение аппроксимации ......Page 172
3. Определение устойчивости ......Page 175
Задачи ......Page 182
1. Замена производных разностными отношениями ......Page 183
2. Метод неопределенных коэффициентов ......Page 191
3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор ......Page 200
Задачи ......Page 202
§ 23. Примеры конструирования граничных условий при построении разностных схем ......Page 204
Задачи ......Page 209
1. Условие Куранта, Фридрихса и Леви ......Page 210
2. Примеры разностных схем для задачи Коши ......Page 211
3. Примеры разностных схгм для задачи Дирихле ......Page 217
Задачи ......Page 219
1. Устойчивость по начальным данным ......Page 221
2. Необходимое спектральное условие устойчивости ......Page 222
3. Примеры ......Page 224
4. Интегральное представление решения ......Page 231
5. Выглаживание разностного решения как действие аппроксимационной вязкости ......Page 237
Задачи ......Page 239
1. Замораживание коэффициентов во внутренних тоікач ......Page 240
2. Признак Бабенко и Гельфапда ......Page 243
Задачи ......Page 249
§ 27. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье ......Page 251
1. Ряды Фурье для сеточных функций 251. 2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке ......Page 254
3. Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности ......Page 257
4. Представление решения разностной схемы для задач о колебаниях струны ......Page 260
§ 28. Принцип максимума ......Page 262
1. Явная разностная схема ......Page 263
2. Неявная разностная схема ......Page 265
3. Сопоставление явной и неявной разностных схем ......Page 266
§ 29. Обобщенное решение ......Page 268
1. Механизм возникновения разрывов ......Page 269
2. Определение обобщенного решения ......Page 270
3. Условие на линии разрыва решения ......Page 272
4. Распад произвольного разрыва ......Page 273
§ 30. Построение разностных схем ......Page 275
1. Схема с искусственной вязкостью ......Page 276
2. Метод характеристик ......Page 277
3. Дивергентные разностные схемы ......Page 278
§ 31. Конструкция схем расщепления ......Page 284
§ 32. Экономичные разностные схемы ......Page 288
§ 33. Расщепление по физическим факторам ......Page 296
§ 34. Простейшая разностная схема для задачи Дирихле ......Page 298
1. Аппроксимация ......Page 299
Задачи ......Page 303
1. Идея метода установления ......Page 304
2. Анализ явной схемы установления ......Page 307
3. Схема переменных направлений ......Page 309
5. Границы применимости методов ......Page 311
1. Идея Ричардсона ......Page 312
2. Чебышевский набор параметров ......Page 313
3. Нумерация итерационных параметров ......Page 316
4. Метод Дугласа — Рэкфорда ......Page 320
Задачи ......Page 322
§ 37. Метод Федоренко ......Page 323
1. Идея метода ......Page 324
2. Описание алгоритма ......Page 325
1. Вариационная постановка краевых задач ......Page 327
2. Сходимость минимизирующих последовательностей ......Page 331
3. Вариационный метод Ритца ......Page 335
4. Проекционный метод Галеркина ......Page 341
Задачи ......Page 343
1. Определение вариационно-разностных и проекционно-разиостных схем ......Page 344
2. Пример вариационно-разностной схемы для первой краевой задачи ......Page 346
3. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи ......Page 354
5. Сопоставление вариационно-разностных схем с общими вариационными и обычными разностными ......Page 358
Задача ......Page 359
§ 40. Слоистая структура решений эволюционных задач ......Page 362
1. Канонический вид ......Page 365
2. Устойчивость как равномерная ограниченность норм степеней ......Page 368
3. Пример ......Page 372
Задачи ......Page 374
§ 42. Использование частных решений при конструировании оператора перехода ......Page 375
1. Необходимые спектральные условия ограниченности ......Page 387
2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора ......Page 389
3. Признаки самосопряженности ......Page 390
4. Оценки собственных значений сператора ......Page 391
5. Выбор скалярного умножения ......Page 393
6. Критерии устойчивости Самарского ......Page 394
Задачи ......Page 395
1. Необходимость усовершенствования спектрального признака устойчивости ......Page 396
2. Определенле спектра семейства операторов ......Page 398
3. Необходимое условие устойчивости ......Page 399
4. Обсуждение понятия спектра семейства операторов ......Page 400
5. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному ......Page 401
§ 45. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями на отрезке ......Page 403
1. Характерный пример ......Page 404
2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае ......Page 411
§ 46. Ядра спектров семейств операторов ......Page 412
§ 47. Об устойчивости итерационных алгоритмов решения несамосопряженных разностных уравнений ......Page 415
1. Класс систем разностных уравнений ......Page 419
3. Граница сеточной области ......Page 420
4. Разностные аналоги интегральных формул Коши и типа Коши ......Page 421
7. Общая краевая задача ......Page 423
9. Устойчивость внутренних граничных условий ......Page 424
10. Дополнительная идея ......Page 425
11. Сопоставление метода внутренних граничных условий с методом сингулярных интегральных уравнений ......Page 426
Библиографические комментарии ......Page 429
Литература ......Page 434
Предметный указатель ......Page 436