ГОУ ВПО ПовГУТИ Кафедра высшей математики 1-3 курс. 225стр. 2010г.
Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: линейная алгебра, аналитическая геометрия, элементы функционального анализа.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.
Введение.
Лекция 1 Линейная алгебра.
Линейные операции над матрицами.
Умножение матрицы на число.
Сложение и вычитание матриц.
Умножение матриц.
Контрольные вопросы к лекции по теме «Матрицы».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 2 Теория определителей.
Исследование системы двух линейных уравнений.
Свойства определителей.
Методы вычисления определителей.
Вычисление определителя Вандермонда.
Контрольные вопросы к лекции «Теория определителей».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 3 Ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Общий порядок решения системы общего вида.
Лекция 4 Обратная матрица.
Правило нахождения обратной матрицы.
Контрольные вопросы по теме «Обратная матрица».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 5 Системы линейных алгебраических уравнений.
Общие сведения о системах линейных уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений.
Метод Крамера.
Матричный метод.
Метод Гаусса.
Однородные системы линейных уравнений.
Общее решение однородной линейной системы.
Контрольные вопросы.
Задачи для самостоятельного решения.
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Собственные значения и вектора линейного оператора.
Свойства собственных чисел и собственных векторов.
Лекция 6 Скалярное произведение векторов.
Основные свойства проекций.
Свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями.
Контрольные вопросы.
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Векторное произведение векторов.
Свойства векторного произведения.
Контрольные вопросы по теме «Векторное произведение».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Смешанное произведение векторов.
Свойства смешанного произведения.
Лекция 7 Плоскость в пространстве R3.
Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей.
Угол между двумя плоскостями.
Условие параллельности двух плоскостей.
Условие перпендикулярности двух плоскостей.
Контрольные вопросы по теме «Плоскость».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 8 Прямая линия.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой проходящей через одну точку с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Уравнение пучка прямых с центром в точке 0 0 y , x M.
Угол между двумя прямыми.
Уравнение в отрезках.
Нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Контрольные вопросы.
Задачи для самостоятельного решения.
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Лекция 9 Прямая линия в пространстве.
Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.
Параметрическое уравнение прямой.
Каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Задачи для самостоятельного решения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 10 Взаимное положение прямой и плоскости.
Углом между прямой и плоскостью.
Условие параллельности прямой и плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Контрольные вопросы по теме «Прямая и плоскость».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Лекция 11 Кривые второго порядка.
Окружность.
Эллипс.
Свойства эллипса.
Гипербола 136.
Свойства гиперболы.
Парабола.
Свойства параболы.
Контрольные вопросы по теме «Кривые второго порядка».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Лекция 12 Преобразования системы координат на плоскости.
Параллельный перенос системы координат.
Поворот осей координат.
Классификация кривых второго порядка.
Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.
Контрольные вопросы по теме «Параллельный перенос».
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы к задачам для самостоятельного изучения.
Лекция 13 Полярная система координат.
Цилиндрическая система координат.
Сферическая система координат.
Задачи для самостоятельного изучения.
Ответы для самостоятельного решения.
Лекция 14 Поверхности второго порядка.
Сфера.
Поверхности вращения.
Эллипсоиды.
Двухполостный гиперболоид.
Однополосный гиперболоид.
Параболоиды.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
Лекция 15 Цилиндрические и конические поверхности.
Цилиндрические поверхности.
Цилиндры.
Эллиптический цилиндр.
Гиперболический цилиндр.
Параболический цилиндр.
Конические поверхности.
Конус.
Лекция 16 Элементы функционального анализа.
Линейные пространства.
Метрические и нормированные пространства.
Глоссарий.
К лекции 1.
К лекции 2.
К лекции 3.
К лекции 4.
К лекции 5.
К лекции 6.
К лекции 7.
К лекции 8.
К лекции 9.
К лекции 10.
К лекции 11.
К лекции 12.
К лекции 13.
К лекции 14.
К лекции 15.
К лекции 16.
Рекомендуемая литература.
