Analyse fonctionnelle appliquée

Couverture......Page 1
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Préface......Page 10
CHAPITRE PREMIER Le théorème des projecteurs......Page 14
1.1 Définition des espaces de Hilbert......Page 15
1.2 Rappels sur les opérateurs linéaires et bilinéaires continus......Page 20
1.3 Prolongement par densité des opérateurs linéaires et bilinéaires continus......Page 24
1.4 Théorème de meilleure approximation......Page 27
1.5 Projecteurs orthogonaux......Page 29
1.6 Sous-espaces fermés, espaces quotients et produits finis d'espaces de Hilbert......Page 34
** 1.7 Bases orthogonales d'un espace de Hilbert séparable......Page 35
CHAPITRE II Les théorèmes de prolongement et de séparation......Page 40
2.1 Prolongement des opérateurs linéaires et bilinéaires continus......Page 41
2.3 Théorèmes de séparation......Page 43
2.4 Théorème de séparation dans les espaces de dimensicn finie......Page 45
2.5 Fonctions d'appui......Page 46
*2.6 Théorème de dualité en optimisation convexe......Page 48
*2.7 Théorème du minimax de von Neumann......Page 53
*2.8 Caractérisation des optimums de Pareto......Page 60
CHAPITRE III Espaces duals et opérateurs transposés......Page 64
3.1 Dual d'un espace de Hilbert......Page 66
3.2 Réalisation du dual d'un espace de Hilbert......Page 70
3.3 Transposition d'opérateurs......Page 75
3.4 Transposition d'opérateurs injectifs......Page 76
3.5 Duals de produits finis, d'espaces quotients et de sous-espaces fermés ou denses......Page 80
3.6 Le théorème de Lax-Milgram......Page 84
**3.7 Inéquations variationnelles......Page 85
*3.8 Équilibres non coopératifs de jeux quadratiques à n personnes......Page 87
CHAPITRE IV Les théorèmes de Banach et de Banach-Steinhaus......Page 90
4.1 Propriétés des ensembles bornés d'opérateurs......Page 91
*4.2 Théorème de la moyenne ergodique......Page 97
4.3 Le théorème de Banach......Page 100
4.4 Théorème de l'image fermée......Page 104
4.5 Caractérisation des opérateurs inversibles à gauche......Page 105
4.6 Caractérisation des opérateurs inversibles à droite......Page 108
*4.7 Programmation quadratique sous contraintes linéaires......Page 112
CHAPITRE V Construction d'espaces de Hilbert......Page 116
5.1 Produit scalaire initial......Page 118
5.2 Produit scalaire final......Page 120
5.3 Sous-espaces normaux d'un espace pivot......Page 121
5.4 Domaine minimal et maximal d'une famille fermée d'opérateurs......Page 123
**5.5 Opérateurs non bornés et leurs adjoints......Page 127
**5.6 Complété d'un espace préhilbertien dans un autre......Page 131
**5.7 Espaces préhilbertiens non séparés......Page 132
**5.8 Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert......Page 133
**5.9 Noyaux reproduisants d'un espace hilbertien de fonctions......Page 136
CHAPITRE VI Espaces L² et opérateurs de convolution......Page 141
6.1 L'espace L²(Ω) des fonctions de carré sommables......Page 143
6.2 Les espaces L²(Ω,a) avec poids......Page 146
6.3 Les espaces ^H^s......Page 148
6.4 Produit de convolution des fonctions de C₀(R^n) et de L¹(R^n)......Page 150
6.5 Opérateurs de convolution......Page 155
6.6 Approximation par convolution......Page 156
**6.7 Exemple : puissances de convolution de fonctions caractéristiques......Page 158
*6.8 Exemple: produit de convolution par des polynômes. Polynômes d'Appell......Page 162
CHAPITRE VII Espaces de Sobolev de fonctions d'une variable......Page 168
7.1 L'espace H₀^m(Ω) et son dual H^-m(Ω)......Page 170
7.2 Définition des distributions......Page 171
7.3 Dérivation des distributions......Page 173
7.4 Relations entre H₀^m(Ω) et H₀^m(R)......Page 177
7.5 L'espace de Sobolev H^m(Ω)......Page 179
7.6 Relations entre H₀^m(Ω) et H^m(R)......Page 183
**7.7 Caractérisation du dual de H^m(Ω)......Page 186
7.8 Théorème de traces......Page 187
7.9 Convolution des distributions......Page 189
CHAPITRE VIII *Quelques méthodes d'approximation des fonctions......Page 192
8.1 Approximation par les polynômes orthogonaux......Page 193
8.2 Polynômes de Legendre, de Laguerre et de Hermite......Page 195
8.3 Séries de Fourier......Page 199
8.4 Approximation par les fonctions en escalier......Page 201
8.5 Approximation par des fonctions polynomiales par morceaux......Page 204
8.6 Approximation dans les espaces de Sobolev......Page 209
CHAPITRE IX Espaces de Sobolev de fonctions de plusieurs variables et transformation de Fourier......Page 214
9.1 Les espaces de Sobolev H₀^m(Ω), H^m(Ω) et H^-m(Ω)......Page 215
9.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment différentiables à décroissance rapide......Page 218
9.3 Transformation de Fourier des espaces de Sobolev......Page 224
9.4 Théorème de trace pour les espaces H^m (R^n_+)......Page 227
9.5 Théorème de trace pour les espaces H^m(Ω)......Page 235
9.6 Théorème de compacité......Page 239