Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Титул ......Page 2
Аннотация ......Page 3
Предисловие ......Page 4
Оглавление ......Page 6
Обозначения ......Page 11
§ 1. Декартово произведение ......Page 12
§ 2. Отношение эквивалентности ......Page 13
§ 3. Отображение ......Page 15
§ 4. Умножение (композиция) отображений ......Page 19
§ 5. Обратное отображение ......Page 22
§ 6. Каноническое разложение ......Page 23
§ 7. Сужение и продолжение отображения ......Page 25
§ 8. Перестановки ......Page 26
§ 9. Преобразования конечного множества ......Page 29
§ 10. Алгебраическая операция ......Page 32
§11. Кратные (степени) элемента ......Page 36
§ 12. Одно свойство суммы ......Page 37
§ 13. Группа ......Page 39
§ 14. Кольцо ......Page 41
§ 15. Поле г ......Page 44
§ 16. Подгруппа ......Page 45
§ 17. Смежные классы по подгруппе ......Page 46
§ 18. Нормальный делитель ......Page 49
§ 19. Фактор-группа ......Page 50
§ 20. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп ......Page 51
§ 21. Ядро гомоморфизма групп ......Page 54
§ 22. Теорема о гомоморфизмах групп ......Page 56
§ 23. Подкольцо. Идеал. Фактор-кольцо ......Page 57
§ 24. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец ......Page 58
§ 25. Теорема о гомоморфизмах колец ......Page 60
§ 26. Матрица ......Page 61
§ 27. Сложение матриц ......Page 64
§ 28. Умножение матриц ......Page 65
§ 29. Умножение матрицы на элемент основного кольца ......Page 69
§ 30. Полином от матрицы ......Page 70
§ 31. Транспонирование матрицы ......Page 71
§ 32. Определитель ......Page 72
§ 33. Миноры и их алгебраические дополнения ......Page 78
§ 34. Некоторые методы вычисления определителей ......Page 81
§ 35. Определитель произведения квадратных матриц ......Page 87
§ 36. Обратная матрица ......Page 88
§ 37. Крамеровские .системы линейных уравнений ......Page 91
§ 38. Элементарные преобразования матрицы ......Page 95
§ 39. Элементарные преобразования матриц над полем ......Page 97
§ 40. Решение системы линейных уравнений способом исключения неизвестных ......Page 100
§ 41. Понятие вектора ......Page 108
§ 42. Сложение векторов ......Page 110
§ 43. Умножение вектора на число ......Page 113
§ 44. Проекции ......Page 116
§ 45. Линейная зависимость векторов ......Page 120
§ 46. Координаты на прямой ......Page 125
§ 47. Координаты на плоскости ......Page 126
§ 48. Координаты в пространстве ......Page 130
§ 49. Преобразование координат ......Page 134
§ 50. Уравнения фигуры ......Page 140
§ 51. Скалярное произведение векторов ......Page 143
§ 52. Векторное произведение векторов ......Page 146
§ 53. Смешанное произведение векторов ......Page 151
§ 54. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ......Page 155
§ 55. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках ......Page 157
§ 56. Векторная и параметрическая формы уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ......Page 159
§ 57. Совместное исследование уравнений двух прямых ......Page 160
§ 58. Пучок прямых ......Page 163
§ 59. Расстояние от точки до прямой ......Page 164
§ 60. Угол между двумя прямыми ......Page 169
§ 61. Общее уравнение плоскости ......Page 170
§ 62. Совместное исследование уравнений двух плоскостей ......Page 173
§ 63. Пучок и связка плоскостей ......Page 174
§ 64. Расстояние от точки до плоскости ......Page 177
§ 65. Различные виды уравнений прямой ......Page 179
§ 66. Некоторые задачи ......Page 181
§ 67. Эллипс ......Page 188
§ 68. Гипербола ......Page 194
§ 69. Директрисы эллипса и гиперболы ......Page 200
§ 70. Парабола ......Page 204
§ 71. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы ......Page 208
§ 72. Плоские фигуры второго порядка ......Page 209
§ 73. Понятие фигуры второго порядка ......Page 214
§ 74. Эллипсоид ......Page 217
§ 75. Конус второго порядка ......Page 219
§ 76. Однополостный гиперболоид ......Page 222
§ 77. Двуполостный гиперболоид ......Page 225
§ 78. Эллиптический параболоид ......Page 227
§ 79. Гиперболический параболоид ......Page 229
§ 80. Цилиндрические фигуры ......Page 231
§ 81. Цилиндрические фигуры второго порядка ......Page 232
§ 82. Прямолинейные образующие фигур второго порядка ......Page 235
§ 83. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида ......Page 236
§ 84. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида ......Page 240
§85. Определение и простейшие свойства ......Page 244
§ 86. Линейная зависимость ......Page 248
§ 87. Эквивалентные системы векторов ......Page 250
§ 88. Максимальная линейно независимая подсистема ......Page 253
§ 89. Ранг матрицы ......Page 255
§ 90. Размерность ......Page 260
§ 91. Произведение ......Page 263
§ 92. Координаты ......Page 265
§ 93. Некоторые задачи ......Page 267
§ 94. Преобразование координат ......Page 269
§ 95. Еще раз об определении определителя ......Page 271
§ 96. Подпространство ......Page 274
§ 97. Сумма и пересечение подпространств ......Page 276
§ 98. Прямая сумма подпространств ......Page 281
§ 99. Фактор-пространство ......Page 285
§ 100. Определение и простейшие свойства гомоморфизмов ......Page 286
§ 101. Изоморфизмы ......Page 290
§ 102. Теорема о гомоморфизмах ......Page 292
§ 103. Операции над эндоморфизмами ......Page 295
§ 104. Инвариантное подпространство ......Page 296
§ 105. Матрица эндоморфизма ......Page 298
§ 106. Полином от Эндоморфизма ......Page 301
§ 108. Изменение матрицы эндоморфизма при замене базиса ......Page 302
§ 109. Эндоморфизм с квазидиагональной матрицей ......Page 304
§ 110. Характеристический полином ......Page 307
§ 111. Собственные векторы эндоморфизма ......Page 309
§ 112. Критерий совместности. Многообразие решений ......Page 312
§ 113. Общее решение системы линейных уравнений ......Page 317
§ 114. Каноническая форма полиномиальной матрицы ......Page 321
§ 115. Наибольшие общие делители миноров полиномиальной матрицы ......Page 325
§ 116. Элементарные делители полиномиальной матрицы ......Page 330
§ 117. Матричные полиномы ......Page 334
§ 118. Критерий подобия матриц над полем ......Page 336
§ 119. Построение трансформирующей матрицы ......Page 340
§ 120. Сопровождающая матрица ......Page 343
§ 121. Первая нормальная форма матрицы над полем ......Page 344
§ 122. Минимальный полином ......Page 345
§ 123 Инвариантные подпространства, связанные с каноническим разложением минимального полинома ......Page 351
§ 124. Вторая нормальная форма матрицы над полем ......Page 352
§ 126. Жорданова нормальная форма матрицы ......Page 358
§ 127. Обобщенная жорданова нормальная форма матрицы над полем вещественных чисел ......Page 361
§ 128. Линейные преобразования переменных ......Page 367
§ 129. Билинейные формы ......Page 369
§ 130. Квадратичные формы ......Page 372
§ 131. Диагональные билинейные и квадратичные формы ......Page 373
§ 132. Нормальный вид квадратичной и симметрической билинейной форм над полем комплексных чисел ......Page 376
§ 133. Нормальный вид квадратичной и симметрической билинейной форм над полем вещественных чисел ......Page 377
§ 134. Знакоопределенные вещественные квадратичные и билинейные формы ......Page 380
§ 135. Условия разложимости вещественной и комплексной квадратичных форм ......Page 385
§ 136. Эрмитово-сопряженная матрица ......Page 388
§ 137. Эрмитовы билинейные и квадратичные формы ......Page 389
§ 138. Билинейные функции ......Page 393
§ 139. Симметрические билинейные функции ......Page 396
§ 140. Скалярное произведение ......Page 397
§ 141. Длина вектора ......Page 401
§ 142. Ортогональные векторы ......Page 404
§ 143. Связь между ортонормированными базисами ......Page 408
§ 144. Определитель Грама ......Page 409
§ 145. Ортогональное дополнение подпространства ......Page 411
§ 146. Изоморфизм ......Page 413
§ 147. Сопряженное преобразование ......Page 417
§ 148. Изометрии ......Page 419
§ 149. Самосопряженное преобразование ......Page 425
§ 150. Приведение вещественной квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием переменных ......Page 427
§ 151. Разложение линейного преобразования в произведение изометрического и самосопряженного ......Page 428
§ 152. Определение и простейшие свойства ......Page 432
§ 153. Координаты ......Page 435
§ 154. Плоскости ......Page 438
§ 155. Геометрическое истолкование систем линейных уравнений ......Page 442
§ 156. Взаимное расположение двух плоскостей ......Page 445
§ 157. Аффинное отображение ......Page 447
§ 158. Изоморфизмы ......Page 449
§ 159. Аффинные преобразования ......Page 451
§ 160. Автоморфизмы ......Page 455
§ 161. Геометрия аффинной группы ......Page 457
§ 162. Определение и простейшие свойства ......Page 462
§ 163. Плоскости ......Page 463
§ 164. Объем параллелепипеда ......Page 467
§ 165. Движения ......Page 469
§ 166. Движения точечной евклидовой плоскости ......Page 472
§ 167. Движения трехмерного точечного евклидова пространства ......Page 474
§ 168. Аффинные преобразования пространства Еп ......Page 476
§ 169. Вещественно-комплексное пространство ......Page 478
§ 170. Определение квадрики ......Page 480
§ 171. Пересечение квадрики с прямой ......Page 485
§ 172. Асимптотические направления ......Page 487
§ 173. Линии эллиптического, гиперболического и параболического типов ......Page 490
§ 174. Центр квадрики ......Page 492
§ 175. Диаметральные плоскости ......Page 495
§ 176. Диаметры линий второго порядка ......Page 496
§ 177. Упрощение уравнения квадрики с помощью преобразования координат ......Page 499
§ 178. Аффинная классификация квадрик ......Page 502
§ 179. Упрощение уравнения квадрики, заданного в ортонормирован- ном репере ......Page 506
§ 180. Исследование поверхности второго порядка в пространстве E3(i) по общему уравнению ......Page 509
§ 181. Метрические инварианты полинома второй степени ......Page 513
§ 182. Исследование линии второго порядка с помощью инвариантов ......Page 516
§ 183. Определение ......Page 519
§ 184. Координаты ......Page 521
§ 185. Плоскости ......Page 523
§ 186. Проективная группа ......Page 528
§ 187. Сложное отношение четырех точек ......Page 534
§ 188. Квадрики в проективном пространстве ......Page 536
§ 189. Проективная классификация линий второго порядка ......Page 539
Предметный указатель ......Page 542