Геометрические методы математической физики

От редактора перевода......Page 13
Предисловие......Page 15
1.1. Пространство Rn и его топология......Page 21
1.2. Отображения......Page 25
1.3. Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных......Page 30
1.4. Теория групп......Page 33
1.5. Линейная алгебра......Page 35
1.6. Алгебра квадратных матриц......Page 38
1.7. Библиография......Page 43
2.1. Определение многообразия......Page 45
2.2. Сфера как многообразие......Page 49
2.3. Другие примеры многообразий......Page 51
2.4. О свойствах многообразий "в целом"......Page 52
2.5. Кривые......Page 53
2.6. Функции на M......Page 54
2.7. Векторы и векторные поля......Page 55
2.8. Базисные векторы и базисные векторные поля......Page 58
2.9. Расслоенные пространства......Page 59
2.10. Примеры расслоенных пространств......Page 61
2.11. Более глубокий взгляд на расслоенные пространства......Page 62
2.12. Векторные поля и интегральные кривые......Page 67
2.13. Экспонента от оператора d/dl......Page 68
2.14. Скобки Ли и некоординатные базисы......Page 69
2.15. Когда базис является координатным......Page 73
2.16. Один-формы......Page 75
2.17. Примеры один-форм......Page 76
2.18. Дельта-функция Дирака......Page 77
2.19. Градиент и наглядное изображение один-форм......Page 79
2.20. Базисные один-формы и компоненты один-форм......Page 81
2.21. Индексные обозначения......Page 83
2.22. Тензоры и тензорные поля......Page 84
2.24. Компоненты тензоров и тензорное произведение......Page 86
2.25. Свертка......Page 87
2.26. Замена базиса......Page 89
2.27. Тензорные операции над компонентами......Page 92
2.28. Функции и скаляры......Page 93
2.29. Метрический тензор в векторном пространстве......Page 94
2.30. Поле метрического тензора на многообразии......Page 98
2.31. Специальная теория относительности......Page 101
2.32. Библиография......Page 102
3.1. Введение как векторное поле отображает многообразие в себя......Page 104
3.3. Действие переноса Ли на векторные поля......Page 105
3.4. Производные Ли......Page 107
3.5. Производная Ли один-формы......Page 110
3.6. Подмногообразия......Page 111
3.7. Теорема Фробениуса на языке векторных полей......Page 113
3.8. Доказательство теоремы Фробениуса......Page 115
3.9. Пример: генераторы вращений......Page 119
3.10. Инвариантность......Page 120
3.11. Векторные поля Киллинга......Page 122
3.12. Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в динамике частицы......Page 123
3.13. Осевая симметрия......Page 124
3.14. Абстрактные группы Ли......Page 127
3.15. Примеры групп Ли......Page 130
3.16. Алгебры Ли и отвечающие им группы Ли......Page 138
3.17. Реализации и представления......Page 143
3.18. Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений......Page 146
3.19. Библиография......Page 151
4.1. Определение объема- геометрическая роль дифференциальных форм......Page 152
4.2. Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров......Page 155
4.3. Дифференциальные формы......Page 157
4.4. Обращение с дифференциальными формами......Page 159
4.5. Ограничение форм......Page 160
4.7 Ориентируемость......Page 161
4.8. Объемы и интегрирование на ориентируемых многообразиях......Page 162
4.9. N-векторы, дуальные величины и символ ei,j,...,k......Page 166
4.10. Тензорные плотности......Page 170
4.11. Обобщенные символы Кронекера......Page 172
4.12. Определители и ei,j,...,k......Page 174
4.13. Метрический элемент объема......Page 175
В. Дифференциальное исчисление форм и его приложения......Page 176
4.14. Внешняя производная......Page 177
4.15. Обозначения для частных производных......Page 178
4.16. Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования......Page 179
4.17. Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных......Page 180
4.18. Точные формы......Page 181
4.19. Доказательство локальной точности замкнутых форм......Page 183
4.20. Производные Ли от форм......Page 185
4.22. Теорема Стокса......Page 187
4.23. Теорема Гаусса и определение дивергенции......Page 191
4.24. Краткий экскурс в теорию когомологий......Page 194
4.25. Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения......Page 197
4.26. Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм......Page 199
4.27. Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса......Page 203
4.28. Законы сохранения......Page 204
4.29. Векторные сферические гармоники......Page 206
4.30. Библиография......Page 208
5.1. Простые системы......Page 209
5.2. Тождества Максвелла и другие математические тождества......Page 210
5.3. Композитные термодинамические системы, теорема Каратеодори......Page 211
5.4. Гамильтоновы векторные поля......Page 214
5.5. Канонические преобразования......Page 215
5.7. Скобка Пуассона......Page 216
5.8. Многочастичные системы, симплектические формы......Page 217
5.9. Линейные динамические системы, симплектическое скалярное произведение и сохраняющиеся величины......Page 218
5.10. Уравнения Гамильтона и расслоения......Page 221
5.11. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм......Page 223
5.12. Заряд и топология......Page 226
5.13. Вектор потенциал......Page 228
5.14. Плоские волны простой пример......Page 229
5.16. Полная производная по времени......Page 230
5.17. Уравнение движения......Page 232
5.18. Сохранение вихрей......Page 233
5.19. Космологический принцип......Page 235
5.20. Алгебра Ли максимальной симметрии......Page 239
5.21. Метрика сферически-симметричного трехмерного пространства......Page 241
5.22. Построение шести векторов Киллинга......Page 244
5.23. Открытая, замкнутая и плоская Вселенные......Page 247
5.24. Библиография......Page 248
6.2. Параллельность на искривленных поверхностях......Page 250
6.3. Ковариантная производная......Page 252
6.4. Компоненты, ковариантные производные базиса......Page 254
6.5. Кручение......Page 256
6.6. Геодезические......Page 258
6.7. Нормальные координаты......Page 259
6.8. Тензор Римана......Page 260
6.9. Геометрическая интерпретация тензора Римана......Page 262
6.11. Согласованность связности с объёмом или метрикой......Page 265
6.12. Метрическая связность......Page 267
6.13. Аффинная связность и принцип эквивалентности......Page 268
6.14. Связности и калибровочные теории на примере электромагнетизма......Page 269
6.15. Библиография......Page 273
Приложение. Решения и указания к некоторым упражнениям......Page 275
Литература, добавленная при переводе......Page 299
Именной указатель......Page 4
Предметный указатель......Page 5
Указатель обозначений......Page 307