Настоящее пособие составлено на основе лекций, читаемых автором студентам факультета прикладной математики — процессов управления (ПМ-ПУ) СПбГУ по специальности “Прикладная математика и информатика”.
Author(s): Утешев А.Ю.
Publisher: Золотое сечение
Year: 2005
Language: Russian
Pages: 172
City: Санкт-Петербург
Tags: Математика;Общая алгебра;
Основная задача раздела 6
Глава 1. Линейные пространства и многообразия 7
§1. Основные определения 7
Изоморфизм 9
§2. Линейная зависимость, базис. Система AX=O и ее фундаментальная система решений 9
§3. Сумма и пересечение линейных подпространств. Система AX=B 14
Сумма и пересечение 14
Линейные многообразия, их геометрический смысл 19
§4. Прямая сумма линейных подпространств 22
§5. Относительная линейная независимость. Факторпространство 26
§6. Преобразование координат прн замене базиса 29
Глава 2. Евклидовы пространства 33
§1. Определения 33
Определения и примеры 33
Пространство R^n 34
Пространство полиномов степени не выше n 34
Линейное пространство квадратных матриц порядка n 35
Свойства 36
§2. Ортогональный, нормированный, ортонормированный базнс. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта 42
§3. Расстояние от точки до линейного многообразия 46
Ортогональное дополнение 46
Вычисление расстояния до многообразия 49
Интерпретация одной интерполяционной задачи 52
§4. Свойства определителя Грама 54
Неотрицательность 55
Использование для нахождения расстояния 57
Неравенство Адамара 57
Геометрическая интерпретация (объём параллелепипеда) 58
Глава 3. Линейные отображения 60
§1. Пространство линейных отображений 60
Линейное отображение 60
Свойства линейных отображений 61
§2. Ядро н образ линейного отображения 64
§3. Матрица линейного отображения 67
Определение 67
Канонический вид матрицы линейного отображения 70
§4. Линейный оператор 71
Основные свойства 71
Матрица оператора 74
§5. Инвариантные подпространства оператора 77
Инвариантное подпространство 77
Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином 79
Диагонализуемость матрицы линейного оператора над C 82
§6. Структура и свойства характеристического полинома 85
Каноническое представление характеристического полинома 85
Теорема Гамильтона-Кэли 88
Диагонализуемость матрицы линейного оператора над R 92
§7. Диагонализуемость симметричной матрицы над R 96
Свойства собственных чисел и собственных векторов 96
Диагонализуемость 98
Локализация собственных чисел 102
Экстремальное свойство собственных чисел 103
§8. Жорданова нормальная форма в C 104
Общая схема 105
Аннулирующий полином 106
Корневое подпространство 107
Циклическое подпространство 110
§9. Жорданова нормальная форма оператора в R 116
Глава 4. Применения жордановой нормальной формы 120
§1. Матричный полином 120
Структура степенной функции от матрицы 120
Вычисление матричного полинома 123
§2. Линейное разностное уравнение 124
Аналитика 125
Асимптотика 129
§3. Применения ж.н.ф. в теории вероятностей 130
Вспомогательные результаты 130
Задача о разорении игрока 133
Цепи Маркова 135
§4. Матричный степенной ряд 143
Норма матрицы. Матричный ряд 143
Матричный степенной ряд 145
Дифференцирование матрицы 149
Экспоненциал матрицы (матричная экспонента) 150
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову 154
Другие специальные функции матрицы 154
Глава 5. Элементы численных методов линейной алгебры 158
§1. Метод Леверье нахождения характеристического полинома 158
§2. Метод Крылова нахождения характеристического полинома 161
Идея 161
Реализация 163
§3. Частичная проблема собственных чисел 167
Вычисление Google PageRank 169
Вместо заключения 170
Подсказки и ответы к упражнениям 171
Литература 172
