Théorie des équations différentielles ordinaires et des équations intégrales

Page de titre......Page 1
Préface des rédacteurs......Page 8
LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES......Page 9
Note sur la septième édition......Page 10
1. Définitions, exemples......Page 11
2. Interprétation géométrique. Un problème et sa généralisation......Page 12
3. Équation de la forme dy/dx = f(x)......Page 17
4. Équation de la forme dy/dx = f(y)......Page 20
5. Équation à variables séparables......Page 21
6. Équations homogènes......Page 24
7. Équations linéaires......Page 26
8. Équations aux différentielles totales......Page 29
9. Lignes polygonales d'Euler......Page 33
10. Théorème d'Arzelà......Page 35
11. Démonstration de l'existence d'une solution de l'équation différentielle y' = f(x,y) par la méthode de Peano......Page 37
12. Théorème d'unicité d'Osgood......Page 44
13. Lignes polygonales d'Euler (un résultat complémentaire)......Page 48
14. Méthode des approximations successives......Page 49
15. Principe des applications contractantes......Page 56
16. Interprétation géométrique du principe des applications contractantes......Page 60
17. Théorème de Cauchy pour l'équation différentielle y' = f(x,y) à second membre holomorphe......Page 62
18. Degré de régularité des solutions des équations différentielles......Page 66
19. Dépendance de la solution par rapport aux données initiales et au second membre de l'équation......Page 67
20. Lemme d'Hadamard......Page 72
21. Théorème de la dépendance de la solution par rapport aux paramètres......Page 73
22. Points singuliers......Page 77
23. Courbes singulières......Page 82
24. Comportement global des courbes intégrales......Page 83
25. Équations non résolues par rapport à la dérivée......Page 86
26. Enveloppes......Page 95
27. Réduction à un système d'équations du premier ordre......Page 99
28. Interprétation géométrique. Définitions......Page 100
29. Théorèmes fondamentaux......Page 102
30. Principe des applications contractantes et systèmes d'équations opératorielles......Page 109
31. Principe des applications contractantes et système d'équations différentielles......Page 112
32. Définitions. Conséquences de la théorie générale des systèmes d'équations différentielles......Page 116
33. Théorèmes fondamentaux pour les systèmes homogènes du premier ordre......Page 118
34. Une expression du wronskien......Page 123
35. Formation d'un système différentiel linéaire homogène à partir d'un système fondamental de solutions......Page 124
36. Conséquences pour une équation différentielle d'ordre n......Page 125
37. Réduction de l'ordre d'une équation linéaire homogène......Page 128
38. Zéros des solutions des équations linéaires homogènes d'ordre 2......Page 130
39. Système d'équations linéaires non homogènes du premier ordre......Page 133
40. Conséquence pour une équation linéaire non homogène d'ordre n......Page 135
41. Transformation d'un système......Page 138
42. Théorème sur la réductîon à la forme canonique......Page 143
43. Invariants par une transformation linéaire......Page 147
44. Diviseurs élémentaires......Page 149
45. Recherche d'un système fondamental de solutions pour un système homogène......Page 152
46. Cas d'une équation différentielle homogène d'ordre n......Page 156
47. Recherche des solutions particulières des systèmes non homogènes......Page 158
48. Réduction de l'équation dy/dx = (ax+by)/(cx+dy) à la forme canonique......Page 161
49. Solutions stables au sens de Liapounov......Page 163
50. Un exemple physique......Page 171
51. Généralités......Page 175
52. Trois types de trajectoires......Page 179
53. Comportement asymptotique des trajectoires......Page 180
54. Fonction de conséquence......Page 183
55. Théorème de Bendixson......Page 186
56. Voisinage d'un point d'équilibre dans le plan. I......Page 188
57. Voisinage d'un point d'équilibre dans le plan. II......Page 192
58. Théorie des indices......Page 199
59. Théorème du point fixe de Brouwer......Page 204
60. Applications du théorème de Brouwer......Page 206
61 Équations smi_linéaires......Page 209
62. Intégrales premières d'un système d'équations différentielles ordinaires......Page 216
63. Équations quasi linéaires......Page 220
64. Solutions généralisées des équations linéaires et quasi linéaires......Page 224
65. Équations non linéaires......Page 231
66. Équation de Pfaff......Page 239
LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES......Page 243
Note sur la deuxième édition......Page 244
Préface à la quatrième édition......Page 245
1. Définitions. Exemples......Page 248
2. Problèmes types qui conduisent à des équations intégrales linéaires......Page 249
3. Analogie entre les équations intégrales linéaires et les équations algébriques linéaires. Théorèmes de Fredholm......Page 254
4. Équations intégrales à noyau dégénéré......Page 259
5. Équations intégrales à noyau continu suffisamment petit en valeur absolue......Page 266
6. Équations intégrales à noyau proche d'un noyau dégénéré......Page 272
7. Équations intégrales à noyau uniformément continu......Page 276
8 Équations integrales à noyau de la forme etc......Page 277
9. Exemples d'équations intégrales singulières......Page 287
10. Équations de Volterra......Page 289
11. Certaines relations fonctionnelles (espace fonctionnel) et leurs homologues géométriques......Page 293
12. Existence des fonctions propres des équations intégrales à noyau symétrique......Page 304
13. Quelques propriétés des fonctions propres et des valeurs propres des équations intégrales à noyau symétrique......Page 312
14. Théorème de Hilbert-Schmidt......Page 318
15. Théorème de développement des noyaux......Page 323
16. Classification des noyaux......Page 325
17. Théorème de Dini et ses applications......Page 326
18. Exemple......Page 330
ANNEXE 19. Réduction canonique d'une forme quadratique par une transformation orthogonale......Page 333
20. Théorie des équations intégrales à noyau symétrique appartenant à la classe des fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue......Page 339
Bibliographie......Page 349
Index......Page 353