Die Mengenlehre ist eine eigenständige mathematische Disziplin. Zugleich ist sie eine Grundlagendisziplin, die für alle mathematischen Gebiete ein begriffliches Gerüst bereithält. In dieser Universalität offenbart sich eine große Tragweite des Mengenbegriffs und seiner Axiomatisierung. Die vorliegende Einführung gibt daher nicht nur einen Einblick in die Theorie und belegt deren Bedeutung für die Mathematik, sie behandelt auch Methoden und Ergebnisse, die auf eine möglichst weitgehende Rechtfertigung der mengentheoretischen Axiomsysteme zielen. Geschichtliche und erkenntnistheoretische Betrachtungen runden das Bild ab.
Das Buch setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Es richtet sich an alle, die an den Grundlagen der Mathematik interessiert und mit Gedankengängen mathematischer Prägung vertraut sind. Rund 200 Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen bieten eine zusätzliche Hilfe, insbesondere dann, wenn man das Buch zur eigenständigen Erarbeitung des dargebotenen Stoffes nutzen möchte.
Die Neuauflage ist vollständig durchgesehen und enthält jetzt eine systematische Behandlung der konstruktiblen Hierarchie, die Beweise der relativen Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms und der Cantorschen Kontinuumshypothese erlaubt.
Author(s): Heinz-Dieter Ebbinghaus
Series: Springer Spektrum
Edition: 5
Publisher: Springer Verlag GmbH
Year: 2021
Language: German
Pages: 264
City: Berlin
Tags: axiomatische Mengenlehre
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
I Einleitung
§1 Der naive Mengenbegriff
§2 Die Bedeutung der Mengenlehre für die Mathematik
§3 Ein geschichtlicher Rückblick
§4 Zur Tragweite mengentheoretischer Axiomensysteme
II Der Rahmen der Darstellung
§1 Die mengentheoretische Sprache
§2 Prädikate, Operationen und Klassen
III
Das Zermelo-Fraenkelsche
Axiomensystem
§1 ExtensionalitŁat und Aussonderung
§2 Axiome der Mengenvereinigung
§3 Das Potenzmengenaxiom. Eine methodologische Betrachtung
§4 Das Unendlichkeitsaxiom
§5 Ersetzung
§6 Das Fundierungsaxiom
§7 Das Auswahlaxiom
IV Relationen und Funktionen
§1 Relationen
§2 Funktionen und Familien
V Natürliche Zahlen und Zahlbereiche
§1 Natürliche Zahlen und Peano-Strukturen
§2 Rekursionen über ω
§3 Endliche Mengen
§4 Zahlbereiche
VI Fundierte Strukturen und Ordinalzahlen
§1 Fundierte Strukturen und Wohlordnungen
§2 Ordinalzahlen
§3 Es gibt viele Ordinalzahlen
VII Rekursionen und Fundiertheit
§1 Das lokale Rekursionstheorem
§2 Das globale Rekursionstheorem
§3 Die von Neumannsche Hierarchie und das Fundierungsaxiom
VIII Das Auswahlaxiom
§1 Das Axiom
§2 Der Wohlordnungssatz
§3 Das Zornsche Lemma
IX Mächtigkeiten
§1 Der Vergleich von Mächtigkeiten
§2 Kardinalzahlen
x3 Kofinalität und Exponentiation
§4 Die Kontinuumshypothese
X Das Universum als kumulative Hierarchie
§1 Relativierungen und Absolutheit
§2 Das Reflektionsprinzip
§3 Das Scottsche Axiomensystem der Mengenlehre
XI Metamathematische Fragestellungen
§1 Widerspruchsfreiheit und relative Widerspruchsfreiheit
§2 Die konstruktible Hierarchie – Ein Exkurs
§3 Unvollständigkeit
§4 Erkenntnistheoretische Anmerkungen
XII Anhang: Zum Verhältnis von ZF und NBG
§1 Das Axiomensystem NBG
§2 Die Gleichwertigkeit von ZF und NBG
XIII Hinweise zur Lösung der Aufgaben
Aufgaben zu Kapitel II
Aufgaben zu Kapitel III
Aufgaben zu Kapitel IV
Aufgaben zu Kapitel V
Aufgaben zu Kapitel VI
Aufgaben zu Kapitel VII
Aufgaben zu Kapitel VIII
Aufgaben zu Kapitel IX
Aufgaben zu Kapitel X
Aufgaben zu Kapitel XI
Liste der Axiome und Axiomensysteme
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Namen- und Sachverzeichnis
