微积分教程(纠斜+书签)

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序
前言
目录
引言
0.1 微积分的产生
0.2 微积分的基本问题
0.3 学习微积分的意义
第1篇 初等微积分
1 函数与极限
1.1 集合与映射
1.1.1 集合概念
1.1.2 集合的运算
1.1.3 映射
习题1
1.2 函数
1.2.1 实数域
1.2.2 绝对值与不等式
1.2.3 函数的概念
1.2.4 函数的表示法
习题2
1.3 复合函数与反函数
1.3.1 复合函数
1.3.2 反函数
1.3.3 初等函数
习题3
1.4 数列极限
1.4.1 数列
1.4.2 数列的极限
1.4.3 数列极限的性质
1.4.4 数列收敛判别法与数e
*1.4.5 求平方根的近似值
习题4
1.5 函数极限
1.5.1 函数极限的定义
1.5.2 函数极限的性质
1.5.3 符号o和O
习题5
1.6 连续函数
1.6.1 定义
1.6.2 连续函数的运算
1.6.3 闭区间上连续函数的性质
1.6.4 初等函数的连续性
*1.6.5 摄动法
习题6
2 一元函数微分学
2.1 导数
2.1.1 导数的概念
2.1.2 求导法则
2.1.3 参数函数与隐函数的导数
2.1.4 高阶导数
2.1.5 求导法小结
习题1
2.2 微分
2.2.1 微分的概念
2.2.2 微分的几何意义
2.2.3 微分法则
2.2.4 高阶微分
习题2
2.3 微分学中值定理
2.3.1 Fermat引理
2.3.2 Rolle中值定理
2.3.3 Lagrange中值定理
2.3.4 Cauchy中值定理
2.3.5 L'Hospital法则
习题3
2.4 Taylor公式
2.4.1 Taylor公式
2.4.2 几个初等函数的Taylor公式
2.4.3 Taylor公式应用举例
习题4
2.5 微分学的应用
2.5.1 函数的增减性
2.5.2 最大值和最小值
2.5.3 函数作图
2.5.4 曲线的曲率
2.5.5 方程的近似解
*2.5.6 相关变化率
习题5
*2.6 内插法
2.6.1 问题的提出
2.6.2 插值多项式的存在唯一性
2.6.3 Newton插值公式
2.6.4 插值余项
2.6.5 Hermite插值公式
习题6
3 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.1 不定积分的概念
3.1.2 换元积分法
3.1.3 分部积分法
3.1.4 有理函数的积分
3.1.5 可化为有理函数积分的积分
习题1
3.2 定积分
3.2.1 定积分的概念
3.2.2 定积分的简单性质
3.2.3 微积分学基本定理
3.2.4 定积分的积分法
3.2.5 定积分的近似计算
习题2
*3.3 数值积分方法
3.3.1 抛物插值法
3.3.2 Simpson法
3.3.3 误差估计
习题3
3.4 定积分的应用
3.4.1 平面曲线的弧长
3.4.2 面积
3.4.3 体积
3.4.4 重心、功
*3.4.5 用定积分定义对数
习题4
3.5 一元向量值函数的微积分
3.5.1 n维Euclid空间
3.5.2 一元向量值函数及其运算
3.5.3 极限、导数和积分
习题5
第2篇 高等微积分
4 实数论与一元函数微积分论
4.1 实数理论
4.1.1 数集的确界与确界公理
4.1.2 实数连续性各等价命题
*4.1.3 Stolz定理
习题1
4.2 连续函数的性质的证明
4.2.1 一致连续的概念
4.2.2 连续函数的性质的证明
习题2
*4.3 上极限与下极限
4.3.1 数列的上极限与下极限的定义
4.3.2 上极限与下极限的性质
4.3.3 极限点及其极限点集
习题3
4.4 凸函数
4.4.1 凸函数的定义
4.4.2 凸函数的性质
4.4.3 凸函数的判别法
4.4.4 凸函数的应用举例
习题4
4.5 定积分存在的充要条件
4.5.1 定积分存在的充要条件
4.5.2 可积函数类
4.5.3 三个命题的一般化
4.5.4 积分第一中值定理
4.5.5 Abel引理和积分第二中值定理
习题5
4.6 曲线弧长与有界变差函数
4.6.1 曲线的弧长
4.6.2 有界变差函数与曲线可求长的充要条件
习题6
4.7 广义积分
4.7.1 无限区间上的广义积分
4.7.2 无限区间上广义积分的收敛判别法
4.7.3 Dirichlet收敛准则与Abel收敛准则
4.7.4 无界函数的广义积分
4.7.5 广义积分的Cauchy主值
习题7
习题提示摘要
1 函数与极限
2 一元函数微分学
3 一元函数积分学
4 实数论与一元函数积分论
跋
参考书目