Análise Real - Uma Introdução

Prefácio

Capitulo 0 NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA .................................. 1
0-1 Conjuntos .................................. 1
0-2 Álgebra dos conjuntos.................................. 2
0-3 Pares ordenados e funções............................... 4
0-4 Famílias indexadas e sequências.......................... 8
0-5 Produtos cartesianos...................................... 10
0-6 Relações.................................. 11
0-7 Conceitos algébricos...................................... 13
0-8 Operações ponto a ponto em funções...................... 14
0-9 Intervalos................................................ 15


Capitulo 1 O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS.................. 17
1-1 Os doze primeiros axiomas................................ 19
1-2 Os números racionais e os números inteiros.................. 23
1-3 0 axioma da completividade.............................. 31
Problemas.............................................. 36

Capítulo 2 ESPAÇOS MÉTRICOS................................ 47
2-1 Definições e exemplos.................................... 48
2-2 Bolas e sequências........................................ 51
2-3 Conjuntos abertos pontos de acumulação e conjuntos fechados 56
2-4 Funções contínuas...................................... 61
2-5 Compacidade............................................ 67
2-6 Completívidade.......................................... 72
Problemas.............................................. 74

Capítulo 3 FUNÇÕES REAIS 89
3-1 Sequências rea1s 89
3-2 Funções reais continuas sobre um espaço métrico ............ 99
3-3 Funções reais continuas sobre um espaço métrico compacto .... 103
3-4 Convergência uniforme e o espaço C(X)........... 104
Problemas..............................................113

Capítulo 4 O CÁLCULO DIFERENCIAL........................123
4-1 Diferenciabilidade........................................123
4-2 Teorema de Rolle e o primeiro teorema do valor médio .......... 128
4-3 Sequências de funções.................................... 131
Problemas............-..................................135


Capítulo 5 A INTEGRAL DE RIEMANN......................146
5-1 Integrais superiores e inferiores: a integral de Riemann ...... 146
5-2 Condições de integrabilidade.............................151
5-3 C1asses de funções integráveis............................ 154
5-4 Propriedades básicas da integral de Riemann .............................................. 156
5-5 0 teorema fundamental..................................167
5-6 Integração por substituição................................ 171
5-7 Integração de sequências................................. 173
5-8 Extensões da integral de Riemann........................179
Problemas............................................186

Capítulo 6 SÉRIES INFINITAS, SÉRIES DE POTÊNCIAS E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES ......................... 200
6-1 Séries reais............................................200
6-2 Séries de funções .............................................. 207
6-3 Séries de potências...................................... 210
6-4 As funções básicas na análise.............................. 215
Problemas.............................................. 221

Capítulo 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS............................ 230
7-1 Introdução............................................... 230
7-2 Um teorema do ponto fixo .............................................. 232
7-3 Teorema de Picard .............................................. 235
7-4 Extensões do teorema de Picard .............................................. 241
7-5 Equações lineares......................................... 244
Problemas.............................................. 246

REFERÊNCIAS .............................................. 251
ÍNDICE DE SÍMBOLOS E NOTAÇÕES........................ 253
ÍNDICE .............................................. 255