Analyse mathématique, fonctions d'une variable t.1

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AVANT-PROPOS
PREMIÈRE PARTIE : INTRODUCTION À L'ANALYSE
CHAPITRE 1. NOMBRES RÉELS
1.1. Premières notions sur les ensembles
1.2. Axiomes des nombres réels
1.3. Conséquences des axiomes d'addition
1.4. Conséquences des axiomes de multiplication
1.5. Conséquences des axiomes d'ordre
1.6. Conséquences de l'axiome de borne supérieure
1.7. Principe d'Archimède et ses conséquences
1.8. Principe d'intervalles fermés emboîtés de Cantor
1.9. Ensemble des nombres réels achevé
Exercices
Historique
CHAPITRE 2. ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
2.1. Opérations sur les ensembles
2.2. Equipotence d'ensembles
2.3. Ensembles dénombrables
2.4. Ensembles ayant la puissance du continu
2.5. Notion de structure mathématique. Isomorphisme de structures
2.6. Espace n-dimensionnel
2.7. Nombres complexes
2.8. Notion générale de fonction. Graphique
Exercices
Historique
CHAPITRE 3. ESPACES MÉTRIQUES
3.1. Définitions et exemples
3.2. Ensembles ouverts
3.3. Suites convergentes et homéomorphisme
3.4. Valeurs d'adhérence et points d'accumulation
3.5. Ensembles fermés
3.6. Ensembles partout denses. Fermetures
3.7. Espaces complets
3.8. Complétion
3.9. Compacité
Exercices
Historique
CHAPITRE 4. THÉORIE GÉNÉRALE DES LIMITES
4.1. Définition d'une limite
4.2. Théorèmes généraux sur les limites
4.3. Limites de fonctions numériques
4.4. Valeurs d'adhérence d'une fonction
4.5. Fonctions non décroissantes suivant une direction
4.6. Théorèmes fondamentaux sur des suites numériques
4.7. Limites de fonctions vectorielles
Exercices
Historique
CHAPITRE 5. FONCTIONS CONTINUES
5.1. Fonctions continues sur un espace métrique
5.2. Fonctions numériques continues sur la droite numérique
5.3. Fonctions monotones
5.4. Logarithme
5.5. Exponentielle
5.6. Fonctions trigonométriques
5.7. Applications des fonctions trigonométriques
5.8. Fonctions vectorielles continues d'une variable vectorielle
5.9. Suites de fonctions
Exercices
Historique
CHAPITRE 6. SÉRIES
6.1. Séries numériques. Séries à termes positifs
6.2. Séries à termes réels de signes quelconques
6.3. Opérations sur les séries
6.4. Séries de vecteurs
6.5. Séries de fonctions
6.6. Séries de puissances
Exercices
Historique
DEUXIÈME PARTIE : CALCUL DIFFERENTIEL ET INTÉGRAL
CHAPITRE 7. DÉRIVÉE
7.1. Définition d'une dérivée
7.2. Deuxième définition de la dérivée
7.3. Différentielle
7.4. Théorèmes des accroissements finis
7.5. Position d'une courbe par rapport à sa tangente
7.6. Règles de L'Hospital
Exercices
Historique
CHAPITRE 8. DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
8.1. Définitions et exemples
8.2. Formule de Taylor
8.3. Analyse du comportement d'une fonction au voisinage d'un point donné
8.4. Différentielles d'ordre supérieur
8.5. Série de Taylor
8.6. Exponentielle et fonctions trigonométriques dans le domaine complexe
8.7. Fonctions hyperboliques
Exercices
Historique
CHAPITRE 9. INTÉGRALE DE RIEMANN
9.1. Définition de l'intégrale et théorèmes d'existence
9.2. A quoi sert l'intégrale?
9.3. Intégrale comme fonction de sa limite supérieure
9.4. Calcul des intégrales indéfinies
9.5. Calcul des intégrales définies
9.6. Applications de l'intégrale
9.7. Intégration et dérivation d'une suite de fonctions
9.8. Intégration et dérivation par rapport au paramètre
9.9. Intégrales curvilignes
Exercices
Historique
CHAPITRE 10. FONCTIONS ANALYTIQUES
10.1. Définitions et exemples
10.2. Intégrales curvilignes de fonctions complexes
10.3. Théorème de Cauchy et ses conséquences
10.4. Résidus et points singuliers isolés
10.5. Applications du plan complexe dans lui-même. Fonctions élémentaires
Exercices
Historique
CHAPITRE 11. INTÉGRALES IMPROPRES
11.1. Intégrales impropres de première espèce
11.2. Intégrales impropres de deuxième et de troisième espèce
11.3. Calcul d'intégrales impropres à l'aide de résidus
11.4. Intégrales impropres fonctions d'un paramètre
11.5. Fonctions gamma et bêta d'Euler
Exercices
Historique
INDICATIONS ET RÉPONSES
Bibliographie
Index