Die Tonleiter – Trivialität oder Problem? Das vorliegende Buch geht dieser provokanten Frage nach. Dabei wird schnell klar, dass das Zusammenfügen von Tönen zu „wohlklingenden“ Tonsystemen eine Herausforderung darstellt, deren Komplexität ungeahnt viele vernetzte Probleme beherbergt. Die Fragen- Warum hat eine Tonleiter ausgerechnet 12 Töne? Und gäbe es auch andere?
- Sind nicht 12 Quintschritte genau so viel wie 7 Oktaven?
- Was ist eigentlich „Konsonanz“? Wann sind Intervalle „rein“, wann „unrein“?
- Was meinen die Leute mit „Tonartencharakteristik“, mit „Ganz- und Halbtönen“?
- Was bedeutet „alte Stimmung“ – und gibt es eine neue, die sich von der alten unterscheidet und worin genau bestünden überhaupt die Unterschiede?
und viele ähnliche zeigen schnell, dass ihre Antworten nicht nur wohlüberlegte Begründungen benötigen, sondern dass sie auch miteinander eng verbunden sind. In dieser Betrachtung kommt der „Mathematik“ eine Schlüsselrolle zu. Aus zunächst nur „einfachen Proportionen und Zahlenverbindungen“ erwächst ein regelrechtes Netzwerk, in welchem sowohl die Methoden der Tonleiter-Generierungen mit ihren Wolfsquintenkreisen und Eulergitter-Auswahlverfahren als auch die Modelle der Temperierungssysteme wissenschaftlich fundiert erklärt werden können. In drei Teilen werden
- eine moderne Intervall-Arithmetik und ihre durch Primzahlen gesteuerte Theorie der Teilung, der Zerlegung und des Aufbaus musikalischer Intervalle,
- die Architektur-Gesetze musikalischer Skalen mit ihren Modellen und Mustern, ihren Stufengeometrien und Charakteristiken, ihren Semitonia und Kommata sowie der kombinatorischen Vielfalt aller leitereigenen Strukturen,
- die Systematik der historischen Stimmungen und ihrer Temperierungssysteme
vorgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Geschichten aus der Märchenwelt musikalischer Fabelwesen begleitet. Das musik-mathematische Rechnen und verstehende Argumentieren benötigt lediglich die bekannten schulischen Grundlagen, welche dann zu einer passenden Algebra und Analysis entwickelt und musikalisch angewendet werden.
Author(s): Karlheinz Schüffler
Edition: 3
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 791
City: Berlin
Tags: Intervallarithmetik; Musiktheorie; Pythagoräisches Komma; Pythagoräisches Tonsystem; Tonleiterkonstruktionen; Temperierungen; Mathe in Musik; Temperierungstheorie; Interval Arithmetic; Music Theory; Pythagorean Comma; Pythagorean Tonal System; Scale Constructions; Tempering; Math In Music; Tempering Theory
Prolog – Praeludium
Inhaltsverzeichnis
Teil I Mathematische Theorie der Intervalle
1 Musikalische Intervalle und Töne
1.1 Physikalische Intervalle: Töne-Schwingungen-Monochordium
1.2 Frequenz- und Proportionenmaß und das Frequenzmaßkriterium
1.3 Die Intervalladjunktion und ihre Arithmetik
1.4 Das Centmaß als Metermaß musikalischer Intervalle
1.5 Musikalische Mittelwerte und ihre harmonischen Gesetze
1.6 Das Oktavengebäude aller musikalischen Intervalle
2 Die Kommensurabilität musikalischer Intervalle
2.1 Die Kommensurabilität und ihre Algebra
2.2 Kommensurable Teilbarkeit musikalischer Intervalle
2.3 Die Symmetrie kommensurabler Teiler und Vielfachen
2.4 Das Kommensurabilitätsprinzip der Oktave
2.5 Kommensurabilität und Periodizität musikalischer Iterationen
2.6 Analysis der Kommensurabilität musikalischer Intervalle
3 Harmonisch-rationale und klassisch-antike Intervalle
3.1 Harmonisch-rationale Intervalle und ihr Primfaktorgebäude
3.2 Harmonisch-rationale Kommensurabilität
3.3 Harmonisch-rationale Teilung: Die Gleichung m ∗ X = Y
3.4 Einfach-superpartikulare Intervalle und antike Konsonanz
3.5 Antik-konsonante Zerlegung harmonisch-rationaler Intervalle
3.6 Konsonanz und die Euler’sche Gradusfunktion
3.7 Zugabe: Die Exponentialfunktion musikalischer Intervalle
4 Iterationen und ihre musik-mathematischen Gesetze
4.1 lterationen zweier Intervalle und ihre harmonische Algebra
4.2 Lineare Unabhängigkeit musikalischer Intervalle
4.3 Die Theorie linearer harmonischer Gleichungssysteme
4.4 Das Operatormodell der Reoktavierung
4.5 Die Analysis der Iterationen und das Tonverteilungstheorem
4.6 Die mathematische Theorie der reinen Harmonik
4.7 Die Tonspirale – eine Einladung zur höheren Analysis
Teil II Mathematische Theorie der Skalen
5 Skalen und ihre Modelle
5.1 Das Tastaturmodell und das Skalenalphabet
5.2 Leitereigene und skaleninterne Intervalle
5.3 Stufenturm- und Quintenkreis – gleichwertige Fundamente
5.4 Die Periodensymmetrien chromatischer Skalen
5.5 Die Stufenarchitekturen für doppelt-periodische Skalen
6 Kombinatorische Spiele rund um die Charakteristiken
6.1 Kombinatorik der Skalenvarianten
6.2 Kombinatorik der Stufentypen
6.3 Transponieren – Transformieren und die Stufenziffercharakteristik
6.4 Skalen und ihre Tonartencharakteristik
7 Diatonik und Chromatik der Wolfsquintenkreise
7.1 Die Elementarintervalle der einfachen Quinteniteration
7.2 Die Quintenkreisformeln der Heptatonik und Chromatik
7.3 Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Chromatik
7.4 Die Wolfsquinte und die quintgenerierte Heptatonik
7.5 Theorie und Analyse leitereigener Intervalle der Wolfsquintenchromatiken
7.6 Musikalische Anwendung der Methode heptatonischer Halbkreise und ihrer Tonartencharakteristiken
7.7 Chromatische Quintenkreise mit mehrfachen Wolfsquinten
Teil III Mathematische Temperierungstheorie
8 Das pythagoräische Intervallsystem
8.1 Das pythagoräische Ursystem
8.2 Die allgemeine pythagoräische 1/n-Komma-Temperierung
8.3 Das pythagoräische System im historischen Licht
8.4 Zugabe: Der Traum des Pythagoras
9 Die Mitteltönigkeit
9.1 Wege zur Mitteltönigkeit
9.2 Die Mitteltönigkeit zur reinen großen Terz
9.3 Die Mitteltönigkeit zur reinen kleinen Terz
9.4 Die allgemeine mitteltönige -Komma-Temperierung
10 Das natürlich-harmonische System und die Enharmonik
10.1 Wege zum rein-natürlich-harmonischen System
10.2 Das Tongitter von Leonhard Euler
10.3 Das Kommatasystem der klassischen Enharmonik
10.4 Die Euler-Skalen: diatonisch – chromatisch – enharmonisch
10.5 Die Stufenintervalle der klassischen Diatonik und Chromatik
10.6 Der semitonale Aufbau des Terz-Quint-Systems
10.7 Die harmonischen Gleichungen der Chromatik und Enharmonik
10.8 Die Enharmonik und ihre funktionale Harmonik
10.9 Zugabe: Diatonische Algebra des Terz-Quint-Gitters
11 Die Gleichstufigkeit und ihr spannendes Umfeld
11.1 Über die Gleichberechtigung im Reich der Töne
11.2 Die Prinzipien der Gleichstufigkeit
11.3 Die 31-gleichstufige Skala und die Mitteltönigkeit
11.4 Chromatische Wunder
11.5 Die gleichstufige Gitarrenstimmung von Daniel Stråhle
11.6 Lautenmusik und Gleichstufigkeit – beinahe unzertrennlich
12 Historische Temperaturen – Methodik und Theorie
12.1 Die Temperierung – ein Optimierungsproblem?
12.2 Henri Arnaut de Zwolle: der Pythagoräiker
12.3 Arnold Schlick: Mitteltönigkeit mit zwei Wolfsquinten
12.4 Johannes Kepler: Astronomia trifft Musica
12.5 Andreas Werckmeister: Meister der Ausgleichung
12.6 Johann Philipp Kirnberger: das geniale Auswahlsystem
12.7 Alexander Malcolm: die superpartikulare Teilung
12.8 Gioseffo Zarlino: Zauberer der Siebtelteilung
12.9 Gottfried Silbermann: der gespiegelte Pythagoras
12.10 Francesco Valotti: die paritätische Quintenverteilung
12.11 Johann Georg Neidhardt: symmetrisches Dreiquintenspiel
12.12 Bach-Kellner: merkwürdige 7:5-Verteilungen
Anhang: Centtabelle einiger historischer Temperierungen
Nachwort – Epilog – Postludium
Verzeichnisse
Literatur
Stichwortverzeichnis
