Álgebra lineal : una introducción moderna

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Contenido
Prefacio
Para el profesor
Para el estudiante
1 Vectores
1.0 Introducción: El juego de la pista de carreras
1.1 Geometría y álgebra de vectores
Vectores en el plano
Nuevos vectores a partir de otros dados
Vectores en R3
Vectores en Rn
Combinaciones lineales y coordenadas
Vectores binarios y aritmética modular
Ejercicios 1.1
1.2 Longitud y ángulo: el producto punto
El producto punto
Longitud
Distancia
Ángulos
Vectores ortogonales
Proyecciones
Ejercicios 1.2
Exploración
Vectores y geometría
1.3 Rectas y planos
Rectas en R2 y R3
Planos en R3
Ejercicios 1.3
Exploración
El producto cruz
Proyecto de ensayo Los orígenes del producto punto y el producto cruz
1.4 Aplicaciones
Vectores fuerza
Ejercicios 1.4
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
2 Sistemas de ecuaciones lineales
2.0 Introducción: trivialidad
2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Ejercicios 2.1
2.2 Métodos directos para resolver sistemas lineales
Matrices y forma escalonada
Operaciones elementales con filas
Eliminación gaussiana
Eliminación de Gauss-Jordan
Sistemas homogéneos
Sistemas lineales sobre Zp
Ejercicios 2.2
Proyecto de ensayo Una historia de la eliminación gaussiana
Exploración
Mentiras que me dijo mi computadora
Pivoteo parcial
Operaciones de conteo: introducción al análisis de algoritmos
2.3 Conjuntos generadores e independencia lineal
Conjuntos generadores de vectores
Independencia lineal
Ejercicios 2.3
2.4 Aplicaciones
Asignación de recursos
Balanceo de ecuaciones químicas
Análisis de redes
Redes eléctricas
Modelos económicos lineales
Juegos lineales finitos
Ejercicios 2.4
Viñeta
El sistema de posicionamiento global
2.5 Métodos iterativos para resolver sistemas lineales
Ejercicios 2.5
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos claves
Preguntas de repaso
3 Matrices
3.0 Introducción: matrices en acción
3.1 Operaciones con matrices
Suma de matrices y multiplicación por un escalar
Multiplicación de matrices
Matrices particionadas
Potencias de matrices
La transpuesta de una matriz
Ejercicios 3.1
3.2 Álgebra matricial
Propiedades de la multiplicación matricial
Propiedades de la transpuesta
Ejercicios 3.2
3.3 La inversa de una matriz
Propiedades de las matrices invertibles
Matrices elementales
El teorema fundamental de las matrices invertibles
El método de Gauss-Jordan para calcular la inversa
Ejercicios 3.3
3.4 La factorización LU
Una forma sencilla de encontrar factorizaciones LU
La factorización PT LU
Consideraciones de cálculo
Ejercicios 3.4
3.5 Subespacios, bases, dimensión y rango
Subespacios asociados con matrices
Bases
Dimensión y rango
Coordenadas
Ejercicios 3.5
3.6 Introducción a las transformaciones lineales
Transformaciones lineales
Nuevas transformaciones lineales a partir de otras anteriores
Inversas de transformaciones lineales
Asociatividad
Ejercicios 3.6
Vignette
Robótica
3.7 Aplicaciones
Cadenas de Markov
Modelos económicos lineales
Crecimiento poblacional
Grafos y digrafos
Ejercicios 3.7
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
4 Eigenvalores y eigenvectores
4.0 Introducción: un sistema dinámico de grafos
4.1 Introducción a eigenvalores y eigenvectores
Ejercicios 4.1
4.2 Determinantes
Determinantes de matrices de n 3 n
Propiedades de los determinantes
Determinantes de matrices elementales
Determinantes y operaciones matriciales
Regla de Cramer y la adjunta
Demostración del teorema de expansión de Laplace
Breve historia de los determinantes
Ejercicios 4.2
Proyecto de ensayo ¿Qué apareció primero: la matriz o el determinante?
Viñeta
Método de condensación de Lewis Carroll
Exploración
Aplicaciones geométricas de los determinantes
El producto cruz
Área y volumen
Rectas y planos
Ajuste de curvas
4.3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices de n x n
Ejercicios 4.3
4.4 Semejanza y diagonalización
Matrices semejantes
Diagonalización
Ejercicios 4.4
4.5 Métodos iterativos para calcular eigenvalores
El método de potencia
El método de potencia ajustado y el método de potencia inverso
El método de potencia inverso ajustado
Teorema de Gerschgorin
Ejercicios 4.5
4.6 Aplicaciones y el teorema de Perron-Frobenius
Cadenas de Markov
Crecimiento poblacional
El Teorema de Perron-Frobenius
Relaciones de recurrencia lineal
Comentarios
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Sistemas dinámicos lineales discretos
Viñeta
Clasificación de equipos deportivos y búsqueda en Internet
Ejercicios 4.6
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
5 Ortogonalidad
5.0 Introducción: sombras en la pared
5.1 Ortogonalidad en Rn
Conjuntos ortogonales y ortonormales de vectores
Ejercicios 5.1
5.2 Complementos y proyecciones ortogonales
Complementos ortogonales
Proyecciones ortogonales
Ejercicios 5.2
5.3 El proceso de Gram-Schmidt y la factorización QR
El proceso de Gram-Schmidt
La factorización QR
Ejercicios 5.3
Exploración
La factorización QR modificada
Cómo aproximar eigenvalores con el algoritmo QR
5.4 Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
Ejercicios 5.4
5.5 Aplicaciones
Graficación de ecuaciones cuadráticas
Ejercicios 5.5
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
6 Espacios vectoriales
6.0 Introducción: Fibonacci en el espacio (vectorial)
6.1 Espacios y subespacios vectoriales
Subespacios
Conjuntos generadores
Ejercicios 6.1
6.2 Independencia lineal, bases y dimensión
Independencia lineal
Bases
Coordenadas
Dimensión
Ejercicios 6.2
Exploración
Cuadrados mágicos
6.3 Cambio de base
Matrices de cambio de base
El método de Gauss-Jordan para calcular una matriz de cambio de base
Ejercicios 6.3
6.4 Transformaciones lineales
Propiedades de las transformaciones lineales
Composición de transformaciones lineales
Inversas de transformaciones lineales
Ejercicios 6.4
6.5 El kernel y el rango de una transformación lineal
Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas
Isomorfismos de espacios vectoriales
Ejercicios 6.5
6.6 La matriz de una transformación lineal
Matrices de transformaciones lineales compuesta e inversa
Cambio de base y similitud
Ejercicios 6.6
Exploración
Mosaicos, retículas y la restricción cristalográfica
6.7 Aplicaciones
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
Ejercicios 6.7
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
7 Distancia y aproximación
7.0 Introducción: geometría de taxi
7.1 Espacios con producto interno
Propiedades de los productos internos
Longitud, distancia y ortogonalidad
Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt
Las desigualdades de Cauchy-Schwarz y del triángulo
Ejercicios 7.1
Exploraciones
Vectores y matrices con entradas complejas
Desigualdades geométricas y problemas de optimización
7.2 Normas y funciones de distancia
Funciones distancia
Normas matriciales
El número de condición de una matriz
La convergencia de los métodos iterativos
Ejercicios 7.2
7.3 Aproximación por mínimos cuadrados
El teorema de mejor aproximación
Aproximación por mínimos cuadrados
Solución al problema de mínimos cuadrados
Mínimos cuadrados vía la factorización QR
Revisión de la proyección ortogonal
La pseudoinversa de una matriz
Ejercicios 7.3
7.4 La descomposición de valor singular
Los valores singulares de una matriz
La descomposición de valor singular
Aplicaciones de la DVS
Viñeta
Compresión de imágenesdigitales
Ejercicios 7.4
7.5 Aplicaciones
Aproximación de funciones
Ejercicios 7.5
Aproximación de funciones
Repaso del capítulo
Definiciones y conceptos clave
Preguntas de repaso
8 Códigos
8.1 Vectores código
Ejercicios 8.1
Vectores código
Viñeta
El sistema Codabar
8.2 Códigos de corrección de error
Ejercicios 8.2
Códigos de corrección de error
8.3 Códigos duales
Ejercicios 8.3
8.4 Códigos lineales
Ejercicios 8.4
8.5 La distancia mínima de un código
Ejercicios 8.5
Apéndice A*
Notación matemática y métodos de demostración
Notación de conjuntos
Notación suma
Métodos de demostración
Apéndice B*
Inducción matemática
Apéndice C*
Complex Numbers
Operaciones con números complejos
Forma polar
Teorema de De Moivre
Fórmula de Euler
Apéndice D*
Polinomios
Respuestas a ejercicios impares seleccionados
Índice
Índice de notación