楕円関数と仲良くなろう: 微分方程式の解の全体像を求めて

はじめに
目次
第1章　楕円積分について
1.1 ルジャンドル-ヤコビの標準形
1.2 楕円積分と完全楕円積分
1.3 楕円積分の歴史
1.4 楕円の周の長さと完全楕円積分
1.5 完全楕円積分のグラフ
1.6 完全楕円積分の微分公式
第2章　算術幾何平均と完全楕円積分
2.1 円周率の値
2.2 算術幾何平均
2.3 ガウスの公式とその精度
2.4 ガウスの公式の導出
2.5 命題2.1の証明
2.6 命題2.2の証明
2.7 命題2.3の証明
第3章　完全楕円積分の近似式
3.1 算術幾何平均と完全楕円積分
3.2 1/K, E/K の近似式
3.3 K, E のマクローリン展開
3.4 1/K, E/K のマクローリン展開
3.5 定理 3.3, 3.4 の証明について
第4章　超越方程式の実数解の個数
4.1 代数方程式と超越方程式
4.2 超越方程式の入門的例題
4.3 変数を増やして考える
第5章　完全楕円積分を含む不等式
5.1 基本的な例題
5.2 多変数化による証明
5.3 難しい問題に挑戦
第6章　代数方程式のとりあつかい
6.1 連立代数方程式とグレブナー基底
6.2 ユークリッドの互除法
6.3 多項式に対する互除法
6.4 スツルムの定理
第7章　スツルムの定理について
7.1 スツルムの定理と証明のアイデア
7.2 スツルムの定理の証明
第8章　ヤコビの楕円関数について
8.1 三角関数を図形を用いずに定義する
8.2 ヤコビの楕円関数
8.3 ヤコビの楕円関数の微分
8.4 楕円関数と楕円積分との関係
8.5 振幅関数とヤコビの楕円関数
8.6 振幅関数の性質
第9章　非線形境界値問題について
9.1 微分方程式について
9.2 オセーンの流れ由来の問題
9.3 解を見てみよう
9.4 自明解からの分岐
9.5 数学的考察と定理
第10章　解の表示式の導出と応用
10.1 非線形境界値問題と単純化
10.2 解の表示式を求めるアイデア
10.3 1階の微分方程式に帰着する
10.4 解の表示式へ
10.5 α,β,γ を kとA で表示
10.6 積分制約条件と定理9.1の証明の完結
10.7 定理9.2の証明
10.8 定理9.6の証明
第11章　平面弾性閉曲線の変分問題
11.1 弾性エネルギー最小の変分問題
11.2 回転数 ω=1 のとき
11.3 回転数 ω=0 のとき
11.4 停留点の面積とエネルギーの関係式
11.5 最小化解の性質
11.6 回転数 ω=0 の場合の主結果
第12章　解の表示式について
12.1 非線形境界値問題 (E^0_n) の解表現
12.2 回転数に関する拘束条件の表現
12.3 弾性エネルギーの表示式
12.4 面積の表示式
12.5 定理12.1の証明の準備
12.5.1 1階の微分方程式への帰着
12.5.2 A+B<0, δ≦0 の場合の解の表示式
12.5.3 A+B≦0, δ>0 の場合の解の表示式
12.6 定理12.1の証明の完結
12.6.1 A+B<0, δ≦0 の場合の (k,h) による表示式の導出
12.6.2 A+B≦0, δ>0 の場合の (k,h) による表示式の導出
12.6.3 定理12.1の 証明
12.7 定理12.2の証明
12.8 定理12.3と12.4の証明の概略
第13章　解の表示式と大域的構造解析
13.1 回転数 ω=0 の大域的構造解析の考え方
13.2 定理の証明
13.3 命題13.1の証明の概略
13.3.1 領域 Σ_{S*} での Z(k,h)=0 の等高線
13.3.2 領域 Σ_{S} での Z(k,h)=0 の等高線
13.3.3 線集合 Σ_0 での閉曲線
13.4 命題13.2の証明の概略
13.4.1 領域 Σ_{S*} での面積の挙動
13.4.2 領域 Σ_{S}∪Σ_{0} での面積の挙動
13.5 命題13.3の証明の概略
13.6 命題13.4の証明の概略
第14章　さまざまな微分方程式
14.1 1次元ギンツブルグ-ランダウ方程式
14.2 カーン-ヒリアード方程式の定常解
14.3 交差拡散方程式
付録A　数式処理ソフトの利用について
A.1 数式処理ソフトについて
A.2 因数分解・展開・代入
A.3 微分
A.4 ユークリッドの互除法
A.5 関数のグラフ
A.6 グレブナー基底
A.7 スツルムの定理に関連するコマンド
A.8 Mapleのオンラインヘルプの使い方
参考文献
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索引